Question

19．如圖所示，AB與CD為兩個(gè)對(duì)稱(chēng)斜面，其上部都足夠長(zhǎng)，下部分別與一個(gè)光滑的圓弧面的兩端相切，圓弧圓心角為120°，半徑R=2.0m．一個(gè)質(zhì)量為2kg的物體在離弧底E高度為h=3.0m處，以初速度v₀=4m/s沿斜面運(yùn)動(dòng)，物體與兩斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2．求：

（1）物體第一次通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，物體對(duì)圓弧軌道的壓力多大？
（2）物體在兩斜面上（不包括圓弧部分）一共能運(yùn)動(dòng)多少路程？（g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）物體第一次通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理求得在最低點(diǎn)的速度，再根據(jù)合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得物體受到軌道的支持力，根據(jù)牛頓第三定律求得對(duì)圓弧軌道的壓力；
（2）因?yàn)槲矬w在斜面上運(yùn)動(dòng)，阻力始終做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理求得物體運(yùn)動(dòng)的最終速度，由動(dòng)能定理求得在兩斜面上運(yùn)動(dòng)和路程．

解答 解：（1）從A到第一次通過(guò)最低點(diǎn)E的過(guò)程中，由幾何關(guān)系和動(dòng)能定理得：

$mgh-μmgcos60°\frac{h-（R-Rcos60°）}{sin60°}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…①
在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律：${F_N}-mg=m\frac{v^2}{R}$…②
由①②式可解得：${F}_{N}=（96-\frac{8\sqrt{3}}{3}）N$
根據(jù)牛頓第三定律：物體對(duì)圓弧軌道的壓力為$（96-\frac{8\sqrt{3}}{3}）N$
（2）斜面的傾角為60°，因?yàn)閙gsin60°＞μmgcos60°，所以物體不會(huì)靜止在斜面上，最終在BC間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．
最終做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在B、C的速度為零，對(duì)A到C的整個(gè)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理得，
$mg[h-（R-Rcos{60^0}）]-μmgcos{60^0}S=0-\frac{1}{2}m{v_0}^2$
代入數(shù)據(jù)解得：S=28m
答：（1）物體第一次通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，物體對(duì)圓弧軌道的壓力為$（96-\frac{8\sqrt{3}}{3}）N$；
（2）物體在兩斜面上（不包括圓弧部分）一共能運(yùn)動(dòng)28m的路程．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于多過(guò)程問(wèn)題，由于機(jī)械能損失，物體最終在B、C之間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，要知道摩擦生熱與總路程有關(guān)．