Question

15．如圖所示，兩平行光滑的金屬導軌MN、PQ固定在水平面上，相距為L，處于豎直向下的磁場中整個磁場由n個寬度皆為x₀的條形勻強磁場區(qū)域1、2、…、n組成，從左向右依次排列，磁感應強度的大小分別為B、2B、3B、…、nB，兩導軌左端MP間接入電阻R，一質(zhì)量為m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放在水平導軌上，與導軌電接觸良好，不計導軌和金屬棒的電阻．

（1）對導體棒ab施加水平向右的力，使其從圖示位置開始運動并穿過n個磁場區(qū)，求導體棒穿越磁場區(qū)1的過程中通過電阻R的電荷量q；
（2）對導體棒ab施加水平向右的恒力F₀，讓它從磁場區(qū)1左側(cè)邊界處開始運動，當向右運動距$\frac{{x}_{0}}{2}$時做勻速運動，求棒通過磁場區(qū)1所用的時間t；
（3）對導體棒ab施加水平向右的拉力，讓它從距離磁場區(qū)1左側(cè)x=x₀的位置由靜止開始做勻加速運動，當棒ab進入磁場區(qū)1時開始做勻速運動，此后在不同的磁場區(qū)施加不同的拉力，使棒ab保持做勻速運動穿過整個磁場區(qū)，求棒ab通過第i磁場區(qū)時的水平拉力Fi和棒ab在穿過整個磁場區(qū)過程中回路產(chǎn)生的電熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應定律求出平均電流，帶入公式Q=It即可求出電量．
（2）線框開始做加速度逐漸減小的加速運動，然后勻速運動，對于變加速過程根據(jù)數(shù)學知識可以求出時間．
（3）根據(jù)動能定理可以求出導體棒進入磁場時速度大小，在磁場中勻速運動因此安培力等于力F₁，根據(jù)受力平衡可以求出力F₁，在磁場中運動時，導體棒克服安培力做功，轉(zhuǎn)化為回路中的電熱，根據(jù)功能關系寫出安培力做功表達式，然后依據(jù)數(shù)學知識求解．

解答 解：（1）電路中產(chǎn)生的感應電動勢E=$\frac{△Φ}{△t}$．通過電阻R的電荷量q=I△t=$\frac{E△t}{R}$．
導體棒穿過1區(qū)過程△Φ=BLx₀．
解得q=$\frac{BL{x}_{0}}{R}$
（2）棒勻速運動的速度為v，則v=$\frac{{F}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
設棒在前$\frac{{x}_{0}}{2}$距離運動的時間為t₁，則
由動量定律：F₀ t₁-BqL=mv；
解得：t₁=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{2{F}_{0}R}$+$\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
設棒在后x0/2勻速運動的時間為t₂，則t₂=$\frac{{x}_{0}}{2v}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{2{F}_{0}R}$
所以棒通過區(qū)域1所用的總時間：t=t₁+t₂=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}$+$\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）進入1區(qū)時拉力為F₁，速度v，則有F₁x=$\frac{1}{2}$mv²，
F₁-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=0．
解得F₁=$\frac{2{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}}{m{R}^{2}}$；
v=$\frac{2{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{mR}$．進入i區(qū)時的拉力F_i=$\frac{（iB）^{2}{L}^{2}v}{R}$=$\frac{2{i}^{2}{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}}{m{R}^{2}}$．
導體棒以后通過每區(qū)都以速度v做勻速運動，由功能關系有
Q=F₁x₀+F₂x₀+F₃x₀+…+F_nx₀
解得Q=$\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}$（1²+2²+3²+…n²）．
答：（1）導體棒穿越磁場區(qū)1的過程中通過電阻R的電荷量q為$\frac{BL{x}_{0}}{R}$；
（2）棒通過磁場區(qū)1所用的時間t為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}$+$\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（3）棒ab通過第i磁場區(qū)時的水平拉力Fi和棒ab在穿過整個磁場區(qū)過程中回路產(chǎn)生的電熱Q為$\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}$（1²+2²+3²+…n²）．

點評 本題考查了電磁感應中力學與功能問題，物理過程比較簡單，注意明確動能定理的應用即可，但難點在于應用數(shù)學知識解答物理問題，要注意在學習中培養(yǎng)應用數(shù)學分析物理問題的能力．