Question

14．如圖，小球沿光滑的斜軌道下滑至光滑水平軌道末端時，光電裝置被觸動，控制電路會使中空圓柱體轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速持續(xù)轉(zhuǎn)動起來，已知軌道末端與轉(zhuǎn)筒左側(cè)的距離為L=1.6m，且與轉(zhuǎn)筒側(cè)壁上的小孔甲的高度差為h₁=0.8m，側(cè)壁上另一小孔乙和甲在同一豎直線上，且甲、乙兩孔中心相距h₂=1.0m，開始時轉(zhuǎn)筒靜止，且甲、乙小孔都正對著軌道方向，現(xiàn)讓一小球從斜軌上某處無初速度滑下，正好能進(jìn)入甲小孔并恰好從乙小孔穿出（小孔比小球略大，小球視為質(zhì)點，不計空氣阻力，取g=10m/s²），求
（1）小球從斜軌上釋放時的高度H；
（2）轉(zhuǎn)筒的底面半徑R；
（3）轉(zhuǎn)筒的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）小球從離開圓弧軌道到進(jìn)入小孔甲的過程中做平拋運動，根據(jù)平拋運動的位移時間關(guān)系公式求出運動時間和初速度，再對小球在圓弧軌道上的運動運用機械能守恒定律列式求解H；
（2）小球平拋運動的過程，研究豎直方向，求小球從甲孔到乙孔的時間，根據(jù)水平位移求出轉(zhuǎn)筒的底面半徑R；
（3）計算出平拋運動的時間后，根據(jù)角速度的定義式和圓周運動的周期性求解角速度即可．

解答 解：（1）設(shè)小球離開軌道進(jìn)入小孔甲的時間為t₁，則由平拋運動規(guī)律得：
h₁=$\frac{1}{2}$gt₁²
得：t₁=$\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{g}}$=0.4s
平拋的初速度滿足：L=v₀t₁；
得：v₀=4m/s
小球在軌道上運動過程中機械能守恒，故有：
mgH=$\frac{1}{2}$mv₀²；
解得：H=0.8m
（2）豎直分運動：小球從甲孔到乙孔的時間為：
△t=$\sqrt{\frac{2（{h}_{1}+{h}_{2}）}{g}}-{t}_{1}$=0.2s
水平分運動：在△t時間剛好位移為直徑，即：2R=v₀△t
得圓筒底面半徑為：R=0.4m
（3）在小球平拋到達(dá)甲孔的時間t₁=0.4s內(nèi)，圓筒必須恰好轉(zhuǎn)整數(shù)轉(zhuǎn)，小球才能鉆進(jìn)甲孔，即：
ωt₁=2nπ（n=1，2，3…）．
所以有：ω=5nπ  rad/s（n=1，2，3…）
在小球由甲孔到達(dá)乙孔的時間△t=0.2s內(nèi)，圓筒必須恰好轉(zhuǎn)半圈的奇數(shù)倍，小球才能鉆出乙孔．則有：
ω△t=（2n-1）π（n=1，2，3…）
得：ω=5（2n-1）π  rad/s（n=1，2，3…）
綜合分析知，滿足既能鉆出甲孔又能穿出乙孔，取ω=5（2n-1）π  rad/s（n=1，2，3…）
答：（1）小球從斜軌上釋放時的高度H是0.8m；
（2）轉(zhuǎn)筒的底面半徑R是0.4m；
（3）轉(zhuǎn)筒的角速度ω是5（2n-1）π  rad/s（n=1，2，3…）．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運動在豎直方向上做自由落體運動，在水平方向上做勻速直線運動，以及知道轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動的周期性．