Question

如圖所示，在豎直平面內(nèi)，AB是半徑為R的四分之一光滑絕緣圓弧，帶電量為+q，質(zhì)量為m的小球從圓弧上A點(diǎn)由靜止開始下滑，通過粗糙絕緣水平面BC向右運(yùn)動(dòng)到達(dá)C孔，進(jìn)入半徑為r的光滑絕緣圓軌道，小球進(jìn)入圓軌道后，C孔立即關(guān)閉，軌道BCDE處于電場(chǎng)強(qiáng)度為E的豎直向下勻強(qiáng)電場(chǎng)中．已知：R=10r，E_q=mg，μ=

1

6

，

.

BC

=L=6r，g=10m/s²．要求：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球的壓力大�。�
（3）若小球在AB圓弧內(nèi)從距水平面高為h的某點(diǎn)P由靜止釋放，從C點(diǎn)進(jìn)入圓軌道后不脫離軌道，試求h的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）對(duì)A到F的過程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出小球到達(dá)F點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出壓力的大小．
（3）要使小球進(jìn)入圓軌道后不脫離軌道，關(guān)于h的取值，有兩種情形：一種是小球剛好運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)速度為零，另一種情形是剛好通過F點(diǎn)，結(jié)合動(dòng)能定理和牛頓第二定律求出h的范圍．

解答：解：（1）小球從A到B，由機(jī)械能守恒得：mgR=

1

2

mvB2-0．
得：vB=

2gR

=2

5gr

．
（2）小球從A到F，由動(dòng)能定理得：
mgR-mg?2r-qE?2r-μ(mg+qE)L=

1

2

mvF2-0．
解得：vF2=8gr．
在F處，對(duì)小球：NF+mg+qE=m

vF2

r

．
解得：N_F=6mg．
（3）要使小球進(jìn)入圓軌道后不脫離軌道，關(guān)于h的取值，有兩種情形：
①小球剛好能運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，即：v_D=0．
小球從P到D，由動(dòng)能定理得：
mgh-mgr-qEr-μ（mg+qE）L=

1

2

mvD2-0
得：h=4r．
小球剛好能運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，即：v_C=0．
小球從P到C，由動(dòng)能定理得：
mgh-μ(mg+qE)L=

1

2

mvC2
得：h=2r．
在2r≤h≤4r范圍內(nèi)，小球不脫離圓軌道．
②小球剛好能運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，在F點(diǎn)：N_F=0
即：mg+qE=m

vF2

r

   
得：vF2=2gr．
小球從P到F，由動(dòng)能定理得：
mgh-mg?2r-qE?2r-μ（mg+qE）L=

1

2

mvF2-0
得：h=7r
所以：在7r≤h≤10r范圍內(nèi)，小球不脫離圓軌道．
答：（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為2

5gr

．
（2）小球運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球的壓力大小為6mg．
（3）h的取值范圍為2r≤h≤4r或7r≤h≤10r．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律的綜合，知道小球不脫離軌道的臨界情況，結(jié)合牛頓第二定律和動(dòng)能定理進(jìn)行求解．