Question

15．如圖，在公路轉彎處，常采用外高內(nèi)低的斜面式彎道，這樣可以使車輛經(jīng)過彎道時不必大幅減速，從而提高通行能力且節(jié)約燃料．若某處有這樣的彎道，其半徑為r=100m，路面傾角為θ，且tanθ=0.4，取g=10m/s²．
（1）求汽車的最佳通過速度，即不出現(xiàn)側向摩擦力時的速度．
（2）若彎道處側向動摩擦因數(shù)μ=0.5，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，求汽車的最大速度．

Answer 1

分析 （1）車輛以最佳速度通過彎道時，由重力和路面的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式求解．
（2）汽車轉彎時，靜摩擦力沿斜面向下達到最大時，速度最大，再根據(jù)牛頓第二定律可求出汽車轉彎的最大車速．

解答 解：（1）車輛以最佳速度通過彎道時，由重力和路面的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
得：v=$\sqrt{grtanθ}=\sqrt{10×100×0.4}$m/s=20m/s．
（2）當以最大速度轉彎時，最大靜摩擦力沿斜面向下，此時根據(jù)牛頓第二定律，車在豎直方向平衡，有：Ncosθ=mg+fsinθ
車在水平方向有：Nsinθ+fcosθ=m$\frac{{{v}_{m}}^{2}}{r}$
又f_m=μN
以上三式解得：v_m=$\sqrt{\frac{（tanθ+μ）gr}{1-μtanθ}}$=33.6m/s．
由此解得最大速度為：v_m=m/s．故汽車不出現(xiàn)側向摩擦力的速度為m/s，
答：（1）最佳通過速度，即不出現(xiàn)側向摩擦力的速度為20m/s．
（2）最大通過速度為33.6m/s．

點評 熟記摩擦力公式和向心力公式是解決本題的關鍵，弄清向心力是由哪些力提供的，通常這樣找向心力：沿半徑方向的所有力的合力提供該物體做圓周運動的向心力．