Question

（2011?普陀區(qū)二模）如圖所示（a），在傾角為30⁰的斜面上固定一光滑金屬導(dǎo)軌CDEFG，OH∥CD∥FG，∠DEF=60°，CD=DE=EF=FG=AB/2=L，一根質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒AB在電機(jī)的牽引下，以恒定的速度v₀沿OH方向從斜面底部開始運(yùn)動，滑上導(dǎo)軌并到達(dá)斜面頂端，AB⊥OH，金屬導(dǎo)軌的CD、FG段電阻不計，DEF段與AB棒材料、橫截面積均相同，單位長度電阻為r，O是AB棒的中點，整個斜面處在垂直斜面向上磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中．求：
（1）導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上滑行時電路中的電流的大�。�
（2）導(dǎo)體棒運(yùn)動到DF位置時AB兩端的電壓；
（3）將導(dǎo)體棒從低端拉到頂端電機(jī)對外做的功；
（4）若AB到頂端后，控制電機(jī)的功率，使導(dǎo)體棒AB沿斜面向下從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，加速度大小始終為a，一直滑到斜面底端，則此過程中電機(jī)提供的牽引力隨時間如何變化？（運(yùn)動過程中AB棒的合力始終沿斜面向下）．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上滑行時，根據(jù)感應(yīng)電動勢公式得出電動勢與有效長度的關(guān)系，由題意得到電阻與有效長度的關(guān)系，根據(jù)歐姆定律得到導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌DEF上滑動時電路中電流的大�。�
（2）AB兩端的電壓等于AD、DF、FB三段感應(yīng)電動勢之和．AD、FB兩段電壓等于感應(yīng)電動勢．DF段根據(jù)電壓分配求出．
（3）根據(jù)功能關(guān)系可知，導(dǎo)體棒從底端拉到斜面頂端過程電機(jī)對桿做的功等于導(dǎo)體棒增加的重力勢能與電路產(chǎn)生的熱量之和．AB棒在DEF上滑動時產(chǎn)生的電熱Q₁，數(shù)值上等于克服安培力做的功．
（4）分三段討論牽引力隨時間的變化情況：CDEF導(dǎo)軌上、DEF導(dǎo)軌上和OE段．導(dǎo)體棒做勻加速運(yùn)動，加速度為a．根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動學(xué)公式及各段感應(yīng)電流、安培力的表達(dá)式結(jié)合得到牽引力隨時間的變化情況．

解答：解：（1）導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上勻速滑行時，設(shè)AB棒等效切割長度為l，則
  導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上ε=BLV₀
  回路總電阻為R_總=3Lr
  則感應(yīng)電流為I=

ε

R總

所以，I=

BV0

3r

（2）AB棒滑到DF處時，AB兩端的電壓U_BA=U_DA+U_FD+U_BF
  U_DA+U_BF=BLv₀
而U_DF=

2lr

3lr

BLv0=

2

3

BLv0
得U_BA=U_DA+U_FD+U_BF=

5

3

BLv0
（3）導(dǎo)體棒從低端拉到頂端電機(jī)做的功W=△E_P+Q₁+Q₂
增加的重力勢能：△EP=mg(2L+Lcos300)sin300=

4+ 3

4

mgL
   AB棒在DEF軌道上滑動時產(chǎn)生的熱量 Q₁=W_安，
此過程中，電流I不變，所以F_安∝S，故Q1=W安=

0+F安max

2

?

3

2

L=

3 B2L2V0

12r

AB棒在CDEF導(dǎo)軌上滑動時產(chǎn)生的熱量，電流不變，電阻不變，所以
 Q2=I2R總t=(

BV0

3r

)2?3Lr?

L

V0

=

B2L2V0

3r

所以，W=

4+ 3

4

(mgL+

B2L2V0

3r

)
（4）分三段討論牽引力隨時間的變化情況
Ⅰ：CDEF導(dǎo)軌上運(yùn)動牽引力為F₁，則mgsin30°-F_安-F₁=ma，F(xiàn)_安=BIL，I=

BLVt

3Lr

，V_t=at，F1=

1

2

mg-ma-

B2La

3r

t
Ⅱ：DEF導(dǎo)軌上運(yùn)動牽引力為F₂，則mgsin30°-F_安-F₂=ma，F(xiàn)_安=BIx，I=

BxVt

3xr

=

BV0

3r

，V_t=at，

1

2

at2=L+

3

2

L-

3

2

x，
所以F2=

1

2

mg-ma-

B2a

3r

[

2 3 +3

3

L-

3

3

at2]2t
Ⅲ：OE段運(yùn)動牽引力F₃，不隨時間變化，則
F3=

1

2

mg-ma 
答：
（1）導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上滑行時電路中的電流的大小為

Bv0

3r

；
（2）導(dǎo)體棒運(yùn)動到DF位置時AB兩端的電壓為

5

3

BLv0；
（3）將導(dǎo)體棒從低端拉到頂端電機(jī)對外做的功是

4+ 3

4

(mgL+

B2L2V0

3r

)；
（4）此過程中電機(jī)提供的牽引力隨時間變化情況是：
Ⅰ：CDEF導(dǎo)軌上運(yùn)動牽引力為F1=

1

2

mg-ma-

B2La

3r

t
Ⅱ：DEF導(dǎo)軌上運(yùn)動牽引力為F2=

1

2

mg-ma-

B2a

3r

[

2 3 +3

3

L-

3

3

at2]2t
Ⅲ：OE段運(yùn)動牽引力F₃，不隨時間變化，F3=

1

2

mg-ma．

點評：本題難點在于求AB棒在DEF上滑動時產(chǎn)生的電熱，根據(jù)導(dǎo)體棒克服安培力做功求解．容易出現(xiàn)的錯誤有兩處：一是求AB的電壓只考慮DF段電壓．二是AB棒在DEF上滑動的距離當(dāng)作Lsin30°．