Question

11．在水平地面上豎直固定一根內(nèi)壁光滑的圓管，管的半徑R=3.6m（管的內(nèi)徑大小可以忽略），管的出口A在圓心的正上方，入口B與圓心的連線與豎直方向成60°角，如圖所示．現(xiàn)有一只質(zhì)量m=1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從某點(diǎn)P以一定的初速度水平拋出，恰好從管口B處沿切線方向飛入，小球到達(dá)A時(shí)恰好與管壁無(wú)作用力．取g=10m/s²．求：
（1）小球到達(dá)圓管最高點(diǎn)A時(shí)的速度大小；
（2）小球在剛進(jìn)入圓管B點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（3）小球拋出點(diǎn)P到管口B的水平距離x和豎直距離h．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球在A點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律求解；
（2）對(duì)B到A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用機(jī)械能守恒求解；
（3）根據(jù)B點(diǎn)速度方向求得豎直、水平分速度，然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解．

解答 解：（1）小球到達(dá)A時(shí)恰好與管壁無(wú)作用力，故小球在A點(diǎn)只受重力作用，由牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$；
所以，小球到達(dá)圓管最高點(diǎn)A時(shí)的速度大小為：${v}_{A}=\sqrt{gR}=6m/s$；
（2）小球在光滑圓管內(nèi)運(yùn)動(dòng)只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgR（1+cos60°）+\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$=2mgR，
所以，小球在剛進(jìn)入圓管B點(diǎn)時(shí)的速度大小為：${v}_{B}=2\sqrt{gR}=12m/s$；
（3）小球恰好從管口B處沿切線方向飛入，故小球在B點(diǎn)的水平分速度為：v_x=v_Bcos60°=6m/s，豎直分速度為：${v}_{y}={v}_{B}sin60°=6\sqrt{3}m/s$；
所以，小球拋出點(diǎn)P到管口B的豎直距離為：$h=\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=5.4m$，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：$t=\frac{{v}_{y}}{g}=0.6\sqrt{3}s$，那么，小球拋出點(diǎn)P到管口B的水平距離為：$x={v}_{x}t=3.6\sqrt{3}m$；
答：（1）小球到達(dá)圓管最高點(diǎn)A時(shí)的速度大小為6m/s；
（2）小球在剛進(jìn)入圓管B點(diǎn)時(shí)的速度大小為12m/s；
（3）小球拋出點(diǎn)P到管口B的水平距離x為$3.6\sqrt{3}m$，豎直距離h為5.4m．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．