Question

如圖所示，一根長(zhǎng)l=0.8m輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端栓一質(zhì)量m=0.1kg的小球靜止于A點(diǎn)，其右方有底面半徑r=0.2m的轉(zhuǎn)筒，轉(zhuǎn)筒頂端與A等高，下部有一小孔，距頂端h=0.8m．現(xiàn)使細(xì)繩處于水平線上方30°的位置B點(diǎn)處而伸直，且與轉(zhuǎn)筒的軸線、OA在同一豎直平面內(nèi)，開始時(shí)小孔也在這一豎直平面內(nèi)．將小球由B點(diǎn)靜止釋放，當(dāng)小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)輕繩突然斷掉，同時(shí)觸動(dòng)了光電裝置，使轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)起來，且小球最終正好進(jìn)入小孔．不計(jì)空氣阻力，g取l0m/s²．
（1）辨析題：求小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速率？
某同學(xué)解法如下：小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)過程中，只有重力做功，故機(jī)械能守恒，則mgl(1+sin30°)=

1

2

mvA2，代入數(shù)據(jù)，即可求得小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速率．
你認(rèn)為上述分析是否正確？如果你認(rèn)為正確，請(qǐng)完成此題；如果你認(rèn)為不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)誤，并給出正確的解答．
（2）求轉(zhuǎn)筒軸線距A點(diǎn)的距離L
（3）求轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω

Answer 1

分析：（1）此同學(xué)解法不正確．由于輕繩突然斷掉時(shí)，輕繩對(duì)小球做功，小球的機(jī)械能有損失，不能從B到A過程，運(yùn)用機(jī)械能守恒列方程，解出小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速率．分兩段研究：從B到細(xì)繩斷掉和細(xì)繩斷掉到A，分別根據(jù)機(jī)械能定律列式，求解小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速率．細(xì)繩斷掉過程，小球沿繩子方向的速度突然減至零．
（2）滑塊從A點(diǎn)到進(jìn)入小孔做平拋運(yùn)動(dòng)，由高度h求出時(shí)間，由幾何關(guān)系L-r=v_A?t求得L．
（3）在小球平拋的時(shí)間內(nèi)，圓桶必須恰好轉(zhuǎn)整數(shù)轉(zhuǎn)，小球才能鉆入小孔，根據(jù)此關(guān)系列式，求解轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω．

解答：解：（1）此同學(xué)解法不正確．設(shè)細(xì)繩到C位置斷掉．
從B→C過程：根據(jù)機(jī)械能守恒得：mgl=

1

2

m

v

2 C

  小球在C點(diǎn)切向速度為 v_C切=v_Csin60°
從C到A，只有重力做功，據(jù)機(jī)械能守恒定律得 
   mgl(1-cos60°)+

1

2

m

v

2 C切

=

1

2

m

v

2 A

解得，vA=2

5

m/s
（2）滑塊從A點(diǎn)到進(jìn)入小孔的時(shí)間為
   t=

2h g

=

2×0.8 10

s=0.4s
又由題意得 L-r=v_A?t
得 L=

4 5 +1

5

m=1.99m
（3）在小球平拋的時(shí)間內(nèi)，圓桶必須恰好轉(zhuǎn)整數(shù)轉(zhuǎn)，小球才能鉆入小孔
即ωt=2nπ（n=1，2，3…）
解得，ω=5nπ（rad/s）（n=1，2，3…）   
答：
（1）此同學(xué)解法不正確．小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速率為2

5

m/s．
（2）轉(zhuǎn)筒軸線距A點(diǎn)的距離L是1.99m
（3）轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω是5nπ（rad/s）（n=1，2，3…）

點(diǎn)評(píng)：本題是圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的題目，考查了圓周運(yùn)動(dòng)及平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，運(yùn)動(dòng)過程較為復(fù)雜，難度較大．