Question

12．如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量相同的小球，用細(xì)線懸于同一點(diǎn)O₁做圓錐擺運(yùn)動(dòng)，兩球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道在同一倒圓錐面上，懸點(diǎn) O₁、兩圓軌道的圓心O₂、O₃及錐頂O₄在同一豎直線上，O₂、O₃將O₁ O₄三等分，則甲、乙兩球運(yùn)動(dòng)的角度之比為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題可知，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力提供向心力，即重力和繩子作用力的合力沿水平方向指向圓心，結(jié)合幾何關(guān)系求解即可．

解答 解：兩球都在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合外力提供向心力，以任意一球?yàn)槔�，受力分析，受到重力、繩子拉力，兩個(gè)力的合力提供向心力，設(shè)繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，繩子與豎直方向的夾角為θ，則有：
mgtanθ=mω²Lsinθ
解得：ω=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$
懸點(diǎn) O₁、兩圓軌道的圓心O₂、O₃及錐頂O₄在同一豎直線上，O₂、O₃將O₁ O₄三等分，則${O}_{1}{O}_{2}=\frac{1}{2}{O}_{2}{O}_{3}$，而繩長(zhǎng)相等，
根據(jù)幾何關(guān)系可知，甲繩與豎直方向夾角的余弦值與乙繩與豎直方向夾角的余弦值之比為$\frac{{O}_{1}{O}_{2}}{{O}_{1}{O}_{3}}=\frac{1}{2}$，
則$\frac{{ω}_{甲}}{{ω}_{乙}}=\sqrt{2}$，故C正確，ABD錯(cuò)誤．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律以及合成法分析，難度適中．