Question

1．如圖所示，空間某平面內(nèi)有一條折線是磁場的分界線，在折線的兩側(cè)分布著方向相反、與平面垂直的勻強(qiáng)磁場，且折線上方的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小是下方磁場的2倍，已知折線下方的磁場是B．折線的頂角∠A=90°，P、Q是折線上的兩點，AP=AQ=L．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電微粒從P點沿PQ方向射出，不計微粒的重力．
（1）為使微粒從P點射出后，途經(jīng)折線的頂點A而到達(dá)Q點，求初速度v應(yīng)該滿足什么條件；
（2）滿足上述條件中的微粒從P點到Q點所用時間．

Answer 1

分析 （1）為使微粒從P點射出后，途經(jīng)折線的頂點A而到達(dá)Q點，畫出可能的軌跡，由幾何知識分析得出AP與軌跡對應(yīng)的弦長關(guān)系，得到半徑與L的關(guān)系通項，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出速度．
（2）求出微粒從P到Q過程中圓心角的總和θ，由t=$\frac{θ}{2π}$T求出時間的通項．

解答 解：（1）如圖所示，畫出粒子運動的軌跡，根據(jù)運動的對稱性，微粒能從P點到達(dá)Q點，應(yīng)滿足：L=nx
其中x為每次偏轉(zhuǎn)圓弧對應(yīng)的弦長，由于AP=AQ=L，角∠A=90°則知，偏轉(zhuǎn)圓弧對應(yīng)的圓心角為$\frac{π}{2}$或$\frac{3}{2}$π．
設(shè)圓弧的半徑為R，則有2R²=x²，可得：R=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}L}{n}$=$\frac{\sqrt{2}L}{2n}$…①
又：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…②
由①②式得：v=$\frac{\sqrt{2}qBL}{2mn}$，n=1、2、3、…
（2）當(dāng)n取奇數(shù)時，微粒從P到Q過程中圓心角的總和為
θ₁=n•$\frac{π}{2}$+n•$\frac{3}{2}$π=2nπ，
則：t₁=2nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{2πm}{qB}$•n，其中n=1、3、5、…
當(dāng)n取偶數(shù)時，微粒從P到Q過程中圓心角的總和為：
θ₂=n•$\frac{π}{2}$+n•$\frac{π}{2}$=nπ，
則：t₂=nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{πm}{qB}$•n，其中n=2、4、6、…
答：（1）撤去電場，為使微粒從P點射出后，途經(jīng)折線的頂點A而到達(dá)Q點，初速度v應(yīng)滿足的條件是v=$\frac{\sqrt{2}qBL}{2mn}$，n=1、2、3、…．
（2）微粒從P點到達(dá)Q點所用時間為：2nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{2πm}{qB}$•n（其中n=1、3、5、…）或者nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{πm}{qB}$•n（其中n=2、4、6、…）．

點評 本題中帶電粒子在磁場中做周期性運動，關(guān)鍵是運用幾何知識分析得到粒子運動半徑與L的關(guān)系、圓心角的通項，是多解問題，得到的是半徑通項，不是特殊值，不能漏解．