解答:解:(1)設(shè)粒子恰從金屬板邊緣飛出時,AB兩板間的電壓為U
0,由運動學(xué)公式及牛頓第二定律得:
d=a1t2 qE
1=ma
1 E1= t=聯(lián)立以上各式,解得,U
0=400V<500V
設(shè)粒子進入磁場時的最大速率為v
m,由動能定理得
q?U0=
m-
m解得,v
m=2
×10
5m/s
(2)分析可知,在磁場中飛行時間最長的粒子,其運動軌跡應(yīng)在電場中向B板偏轉(zhuǎn),在磁場中恰好與上邊界相切,如圖所示,設(shè)粒子進入磁場時,速度v與OO′成θ角,在磁場中運動時間為
t
m,由牛頓第二定律、平行四邊形定則、幾何關(guān)系及運動學(xué)公式得
qvB=m
v=
R(1+sinθ)=D
T=
t
m=
?T聯(lián)立上述各式,解得,θ=37°,t
m=
π×10-6s≈4.43×10
-6s
設(shè)這些粒子進入磁場時在垂直于金屬板方向的速度為v
y,對應(yīng)AB兩板間的電壓為U
1,在電場中運動的時間為t
1,由O點出發(fā)的可能時間為t,則有
v
y=v
0tanθ
v
y=a
2t
1 qE
2=ma
2 E
2=
聯(lián)立解得,U
1=300V
結(jié)合U
AB-t圖象可得,當U
1=300V時,在一個周期內(nèi)對應(yīng)的時刻為:t
0=0.4s或3.6s,因為電壓的周期為T=4s,所以粒子在O點出發(fā)可能時刻為
t=nT+t
0
即 t=(4n+0.4)s或(4n+3.6)s,其中 n=0,1,2,…
(3)對于所有能從MN邊界飛出磁場的粒子,射出時都集中在電壓U
1=+300V時和電壓U
2=-400V時射出點CG之間的范圍內(nèi),如圖所示.
對于電壓U
1=+300V射出的粒子,設(shè)O′D=y,則由運動學(xué)公式和牛頓第二定律得
y=
a2 qE
2=ma
2,
E
2=
解得,y=0.075m
由第(2)問,該粒子在磁場中的運動半徑為R,射出電場時速度v與OO′成θ角.設(shè)在MN邊界上的射出點C和射入點D之間的距離為s
1,根據(jù)牛頓第二定律、平行四邊形定則和幾何關(guān)系得
qvB=m
v=
s
1=2Rcosθ
聯(lián)立解得,s
1=0.4m.
同理可知,對于U
2=-400V時射出的粒子,GH間的距離為s
2為:s
2=
設(shè)在MN邊界是粒子出射區(qū)域的寬度為L,由幾何關(guān)系可知:
L=
s2+d+y-s1代入解得,L=0.175m
答:(1)粒子進入磁場時的最大速率是2
×10
5m/s.
(2)對于在磁場中飛行時間最長的粒子,在磁場中飛行的時間是4.43×10
-6s,由0點出發(fā)的可能時刻是t=(4n+0.4)s或(4n+3.6)s,其中 n=0,1,2,….
(3)對于所有能從MN邊界飛出磁場的粒子在MN邊界上出射區(qū)域的寬度是0.175m.