Question

4．如圖所示，質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩系于O點(diǎn)，把小球拿到O點(diǎn)正上方且使細(xì)繩拉直的位置A后，以v=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$的速度水平向右彈出（空氣阻力不計(jì)）
（1）小球從彈出至下落到與O點(diǎn)等高的位置這一過(guò)程中，小球做什么運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）求小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩上的拉力大�。�

Answer 1

分析 （1）由于v＜v₀，故繩中沒(méi)有張力，小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動(dòng)；
（2）先結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求出繩子拉直的瞬間小球的速度大小以及小球的速度與豎直方向之間的夾角，并進(jìn)一步求出小球沿半徑方向的分速度與垂直于半徑方向的分速度，再由動(dòng)能定理求的O點(diǎn)最低端的速度，由牛頓第二定律求的拉力．

解答 解：（1）若小球能作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)最高點(diǎn)速度至少為v₀
$mg=\frac{{mv}_{0}^{2}}{L}$
${v}_{1}=\sqrt{gL}＞\sqrt{\frac{gL}{2}}$
小球以v=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$作平拋運(yùn)動(dòng)．
（2）設(shè)當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，此時(shí)OB與豎直方向夾角為θ，
Lsinθ=v₀t            ①
L+Lcosθ=$\frac{1}{2}$gt²        ②
由①②代入數(shù)據(jù)得：cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=$\frac{3}{5}$
豎直分速度為：v_y²=2gL（1+cosθ）
繩繃緊瞬間沿半徑方向速度立即減小為0，設(shè)切線方向速度為v₁
v₁=v_ysinθ-v₀ cosθ
小球由B運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C，由機(jī)械能守恒有：$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}+mgL（1-cosθ）$
小球在C點(diǎn)根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有：$F-mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{L}$
聯(lián)立解得：F=$\frac{m（\sqrt{2gL（1-cosθ）}-{v}_{0}cosθ）^{2}}{L}+3mg-2mgcosθ$
答：（1）小球從彈出至下落到與O點(diǎn)等高的位置這一過(guò)程中，小球做平拋運(yùn)動(dòng)；
（2）小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩上的拉力大小是$\frac{m（\sqrt{2gL（1-cosθ）}-{v}_{0}cosθ）^{2}}{L}+3mg-2mgcosθ$．

點(diǎn)評(píng) 要使小球在豎直面內(nèi)能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)至少應(yīng)該是重力作為所需要的向心力，這是本題中的一個(gè)臨界條件，與此時(shí)的物體的速度相對(duì)比，可以判斷物體能否做圓周運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而再根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)的規(guī)律來(lái)分析解決問(wèn)題，本題能夠很好地考查學(xué)生的分析解決問(wèn)題的能力，是道好題．