Question

如圖所示，線的上端固定，下端系一小球，將小球與線拉到水平位置后從靜止開(kāi)始釋放，求小球的擺線運(yùn)動(dòng)到與水平方向成多大角度時(shí)，球獲得最大的豎直分速度？（反三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析：設(shè)小球下擺動(dòng)θ角時(shí)，豎直分速度大小為v_豎．小球下擺動(dòng)過(guò)程，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒和速度分解，得到v_豎與θ的關(guān)系式，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求最大值．或根據(jù)機(jī)械能守恒定律和向心力結(jié)合求解．

解答：解：解法一：設(shè)小球下擺動(dòng)θ角，只有重力做功機(jī)械能守恒 mglsinθ=

1

2

mv2
則豎直方向的速度為 v豎=vcosθ=

2glsinθ

?cosθ
由于2sin2θ+cos2θ+cos2θ≥3

3	2sin2θcos4θ

當(dāng)    2sin²θ=cos²θ時(shí) 2sin²θcos⁴θ最大
所以   tan2θ=

1

2

，即θ=arctan

2

2

小球豎直方向最大速度為

2

3

gl 3

解法二：設(shè)小球下擺動(dòng)θ角，只有重力做功機(jī)械能守恒：mglsinθ=

1

2

mv2…①
小球做圓周運(yùn)動(dòng)滿足：T-mgsinθ=m

v2

L

…②
要使豎直方向速度最大則有：Tsinθ=mg…③
由①、②、③得：sin2θ=

1

3

小球豎直方向最大速度為v豎=vcosθ=

2glsinθ

?cosθ=

2

3

gl 3

．
答：小球的擺線運(yùn)動(dòng)到與水平方向成arctan

2

2

角度時(shí)，球獲得最大的豎直分速度為

2

3

gl 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和處理物理問(wèn)題的能力，采用是函數(shù)法求解即可．