Question

【題目】如圖，傾角θ＝370的直軌道AC與圓弧軌道CDEF在AC處平滑連接，整個(gè)裝置固定在同一豎直平面內(nèi)。圓弧劃口直的半徑為R，DF是豎直直徑，以氨為圓心，E、O、B三點(diǎn)在同一水平線上，A、F也在同一水平線上。兩個(gè)小滑塊P、Q（都可視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量都為m。已知滑塊Q與軌道AC間存在摩擦力且動(dòng)摩擦因數(shù)處處相等，但滑塊P與整個(gè)軌道間和滑塊Q與圓弧軌道間的摩擦力都可忽略不計(jì)。同時(shí)將兩個(gè)滑塊P、Q分別靜止釋放在A、B兩點(diǎn)，之后P開始向下滑動(dòng)，在B點(diǎn)與Q相碰，碰后P、Q立刻一起向下且在BC段保持勻速運(yùn)動(dòng)。已知P、Q每次相碰都會(huì)立刻合在一起運(yùn)動(dòng)但兩者并不粘連，sin370＝0.6，cos370＝0.8，取重力加速度為g，求：

(1）兩滑塊進(jìn)入圓弧軌道運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)圓弧軌道的壓力的最大值。

(2)滑塊Q在軌道ACI往復(fù)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的最大路程。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】（1）滑塊P下滑至碰前，由機(jī)械能守恒定律得

①

P、Q碰后一起運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)量守恒定律得

②

P、Q一起運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)過程，有

③

經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力最大，有

④

由牛頓第三定律可知，兩滑塊對(duì)圓弧軌道最大壓力

⑤

聯(lián)立解得

⑥

（2）由以上計(jì)算可知，P、Q整體在D點(diǎn)的動(dòng)能

⑦

因此它們?cè)趫A弧軌道上運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)在E點(diǎn)下方

之后沿軌道返回，再次到達(dá)C點(diǎn)的速度大小仍為v2。從C點(diǎn)上滑后P、Q分離，Q比P先到達(dá)最高點(diǎn)，且Q運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)停下。設(shè)P、Q上滑的最大位移分別為xP、xQ。對(duì)P、Q，由動(dòng)能定理分別可得

⑧

⑨

由前面P、Q一起勻速下滑可知Q所受的滑動(dòng)摩擦力

⑩

P再次從最高點(diǎn)下滑至第二次碰Q前，有

P、Q碰后一起運(yùn)動(dòng)，有

在P、Q第二次進(jìn)入直軌道AC運(yùn)動(dòng)全過程，Q克服摩擦力做的功

而P、Q碰撞損失的機(jī)械能為

由以上各式可以解得Q克服摩擦力做的功與P、Q碰撞損失的機(jī)械能之比

P、Q此后多次進(jìn)入直軌道AC運(yùn)動(dòng)過程，遵循同樣的規(guī)律，直到最后到達(dá)C點(diǎn)的速度減為0，因此從P、Q第二次進(jìn)入直軌道AC運(yùn)動(dòng)到最后不再進(jìn)入為止，Q克服摩擦力做的功為

滑塊Q在軌道AC上往復(fù)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的最大路程

由以上各式解得

⒅

故本題答案是：（1）（2）