Question

（20分，第一小題12分，第2小題8分）

1. 如圖所示，電荷量為 q₁ 的正點(diǎn)電荷固定在坐標(biāo)原點(diǎn) O 處，電荷量為 q₂ 的正點(diǎn)電荷固定在 x 軸上，兩電荷相距 l 。已知 q₂＝2q₁。

（�。┣笤� x 軸上場強(qiáng)為零的 P 點(diǎn)的坐標(biāo)。

（ⅱ）若把一電荷量為 q₀ 的點(diǎn)電荷放在 P 點(diǎn)，試討論它的穩(wěn)定性（只考慮q₀ 被限制在沿 x 軸運(yùn)動和被限制在沿垂直于 x 軸方向運(yùn)動這兩種情況）。

2. 有一靜電場，其電勢 U 隨坐標(biāo) x 的改變而變化，變化的圖線如圖1所示，試在圖2中畫出該靜電場的場強(qiáng) E 隨 x 變化的圖線（設(shè)場強(qiáng)沿 x 軸正方向時(shí)取正值，場強(qiáng)沿 x 軸負(fù)方向時(shí)取負(fù)值）。

Answer 1

參考解答：

1.

　（�。┩ㄟ^對點(diǎn)電荷場強(qiáng)方向的分析，場強(qiáng)為零的 P 點(diǎn)只可能位于兩點(diǎn)電荷之間。設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 x₀，則有

　 　（1）

已知

　 　（2）

由（1）、（2）兩式解得

　 　（3）

　（ⅱ）先考察點(diǎn)電荷 q₀ 被限制在沿 x 軸運(yùn)動的情況。q₁、q₂ 兩點(diǎn)電荷在 P 點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng)的大小分別為

　 　

且有 　E₁₀＝E₂₀

二者方向相反。點(diǎn)電荷 q₀ 在 P 點(diǎn)受到的合力為零，故 P 點(diǎn)是 q₀ 的平衡位置。在 x 軸上 P 點(diǎn)右側(cè) 處，q₁、q₂ 產(chǎn)生的場強(qiáng)的大小分別為

方向沿 x 軸正方向

方向沿 x 軸負(fù)方向

由于 ， 處合場強(qiáng)沿 x 軸的負(fù)方向，即指向 P 點(diǎn)。在x 軸上 P 點(diǎn)左側(cè) 處 q₁、q₂ 的場強(qiáng)的大小分別為

　 　方向沿 x 軸正方向

　 　方向沿 x 軸負(fù)方向

由于 ， 處合場強(qiáng)的方向沿 x 軸的正方向，即指向 P 點(diǎn)。

由以上的討論可知，在 x 軸上，在 P 點(diǎn)的兩側(cè)，點(diǎn)電荷 q₁ 和q₂ 產(chǎn)生的電場的合場強(qiáng)的方向都指向 P 點(diǎn)，帶正電的點(diǎn)電荷在 P 點(diǎn)附近受到的電場力都指向 P 點(diǎn)，所以當(dāng) q₀＞0 時(shí)，P 點(diǎn)是 q₀ 的穩(wěn)定平衡位置。帶負(fù)電的點(diǎn)電荷在 P 點(diǎn)附近受到的電場力都背離 P 點(diǎn)，所以當(dāng) q₀＜0 時(shí)，P 點(diǎn)是 q₀ 的不穩(wěn)定平衡位置。

再考慮 q₀ 被限制在沿垂直于 x 軸的方向運(yùn)動的情況。沿垂直于 x 軸的方向，在 P 點(diǎn)兩側(cè)附近，點(diǎn)電荷q₁ 和q₂ 產(chǎn)生的電場的合場強(qiáng)沿垂直 x 軸分量的方向都背離 P 點(diǎn)，因而帶正電的點(diǎn)電荷在 P 點(diǎn)附近受到沿垂直 x 軸的的分量的電場力都背離 P 點(diǎn)，所以，當(dāng)q₀＞0 時(shí)，P 點(diǎn)是 q₀ 的不穩(wěn)定平衡位置。帶負(fù)電的點(diǎn)電荷在 P 點(diǎn)附近受到的電場力都指向 P 點(diǎn)，所以當(dāng)q₀＜0 時(shí)，P 點(diǎn)是 q₀ 的穩(wěn)定平衡位置。

2.