Question

（2011?福建模擬）如圖所示，在坐標系xOy中，x＜0的區(qū)域空間存在著垂直紙面向外的勻強磁場，x＞0的區(qū)域空間存在著電場強度大小E=

2 2 mv 2 0

qL

、方向未知的勻強電場．現(xiàn)有一質量為m、帶電荷量為-q的微粒（重力不計），自坐標原點O以初速度v₀沿與x軸負方向成45⁰角垂直射入磁場，經過y軸上的P（0，-L）點射入電場區(qū)域，微粒進入電場后，在電場力的作用下又經P（0，-L）點返回磁場區(qū)域，經一段時間后微粒再次離開磁場進入電場．求：
（1）磁感應強度B的大小和勻強電場的方向；
（2）帶電微粒自原點射出，離開原點后第四次過y軸時經歷的時間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意作出粒子的運動軌跡，如圖所示，由幾何關系求出做圓周運動的半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式求出磁場強度，由于微粒進入電場后，在電場力的作用下又經P（0，-L）點返回磁場區(qū)域，這說明微粒進入電場后所受電場力的方向與它進入電場時的速度方向相反，即電場的方向與_y軸（或x軸）正方向的夾角為45°．
（2）微粒第二次過P點速度方向與第一次過P點時相反，與-y方向的夾角為45°，微粒第三次過Y軸時的運動方向與+x方向夾45°斜向右下方，恰好沿垂直于電場方向進入電場，在電場中做類平拋運動（如圖所示），根據(jù)圓周運動時間與周期的關系及平拋運動基本公式即可求得總時間．

解答：解：（1）粒子從O做勻速圓周運動到P的軌跡如答圖中的實線所示．
由幾何關系知：R=Lcos45°    
又Bqv₀=m

v02

R

  
解得：B=

2 mv0

qL

    
由于微粒進入電場后，在電場力的作用下又經P（0，-L）點返回磁場區(qū)域，這說明微粒進入電場后所受電場力的方向與它進入電場時的速度方向相反，即電場的方向與_y軸（或x軸）正方向的夾角為45°．
（2）微粒第二次過P點速度方向與第一次過P點時相反，與-y方向的夾角為45°，微粒第三次過Y軸時的運動方向與+x方向夾45°斜向右下方，恰好沿垂直于電場方向進入電場，在電場中做類平拋運動（如圖所示）．那么：
O→P過程的時間t₁=

3

4

×

2πR

v0

=

3 2 πL

4v0

   
微粒在電場中減速和反向回到磁場的時間t₂=2×

mv0

Eq

=

2 L

2v0

         
P→O′過程的時間t₃=

1

4

×

2πR

v0

=

2 πL

4v0

      
在電場中做類平拋運動時，建如答圖中的x′O′y′的坐標系，那么：
x′=v₀t₄    y′=

1

2

at42=

Eqt42

2m

由于粒子過y軸又有x′=y′
代入值解得：t₄=

2 L

2v0

                                     
故所求的總時間t=t₁+t₂+t₃+t₄=

2 L

v0

+

2 πL

v0

=

2 L

v0

(1+π)
答：（1）磁感應強度B的大小為

2 mv0

qL

，勻強電場的方向為與_y軸（或x軸）正方向的夾角為45°；
（2）帶電微粒自原點射出，離開原點后第四次過y軸時經歷的時間為

2 L

v0

(1+π)．

點評：本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，粒子垂直射入電場，在電場中偏轉做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，要求同學們能畫出粒子運動的軌跡，結合幾何關系求解，知道半徑公式及周期公式，難度適中．