Question

（本小題15分）某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為S，比賽時，某同學將球置于球拍中心，以大小a的加速度從靜止開始做勻加速運動，當速度達到v₀時，再以v₀做勻速直線運動跑至終點。整個過程中球一直保持在球中心不動。比賽中，該同學在勻速直線運動階級保持球拍的傾角為θ₀ ，如右圖所示。設球在運動過程中受到的空氣阻力與其速度大小成正比，方向與運動方向相反，不計球與球拍之間的摩擦，球的質量為m，重力加速度為g

（1）空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k

（2）求在加速跑階段球拍傾角θ隨球速v變化的關系式

（3）整個勻速跑階段，若該同學速率仍為v₀ ，而球拍的傾角比θ₀大了β并保持不變，不計球在球拍上的移動引起的空氣阻力的變化，為保證到達終點前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應滿足的條件。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

（3）

【解析】題考查牛頓第二定律的應用，當物體勻速運動時所受合外力為零，分析物體受力可知重力與阻力的關系，從而求得常數(shù)K，加速階段設球拍對球的支持力為，分析物體受力，建立直角坐標系可知支持力的分力與阻力的合力提供加速度，支持力的另一個分力與重力平衡，從而求得角度大小，當物體勻速運動時，物體的受力平衡，空氣阻力與重力的合力不變，設球沿球拍面下滑的加速度大小為，分析物體受力寫出牛頓第二定律的質子，根據(jù)球不從球拍上掉落的條件求解公式即可

⑴在勻速運動階段有，

得    

⑵加速階段，設球拍對球的支持力為，有

得

⑶以速度v₀勻速運動時，設空氣的阻力與重力的合力為F，有

 

球拍傾角為時，空氣阻力與重力的合力不變，設球沿球拍面下滑的加速度大小為，有 

設勻速跑階段所用時間為t，有

球不從球拍上掉落的條件  

得