Question

如圖所示，ABC為光滑軌道，其中AB段水平放置，BC段是半徑為R的圓弧，AB與BC相切于B點(diǎn)．A處有一豎直墻面，一輕彈簧的一端固定于墻上，另一端與一質(zhì)量為M的物塊相連接，當(dāng)彈簧牌原長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)，物塊恰能與固定在墻上的L形擋板相接觸于B處但無(wú)擠壓．現(xiàn)使一質(zhì)量為m的小球從圓孤軌道上距水平軌道高h(yuǎn)處的D點(diǎn)由靜止開始下滑，小球與物塊相碰后立即共速但不粘連，物塊與L形擋板相碰后速度立即減為零也不粘連．（整個(gè)過程中，彈簧沒有超過彈性限度，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g）
（1）試求彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能．
（2）求小球與物塊第一次碰后沿BC上升的最大高h(yuǎn)′．
（3）若R＞＞h，每次從小球接觸物塊至物塊撞擊L形擋板歷時(shí)均為△t，則小球由D點(diǎn)出發(fā)經(jīng)多少時(shí)間第三次通過B點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）球從D下滑到B與物塊碰前，小球機(jī)械能守恒定律列式，碰撞過程，小球與滑塊系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律列式，碰后彈簧壓縮到最大程度的過程中，M、m和彈簧的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，聯(lián)立方程即可求解；
（2）第一次碰后，小球返回B點(diǎn)的速度仍為v₁，從B向C滑動(dòng)的最大高度為h′，根據(jù)機(jī)械能守恒即可求解；
（3）R當(dāng)R＞＞h，小球在BC上的運(yùn)動(dòng)可等效為單擺，其周期為T=2π

R g

，進(jìn)而求出小球第三次通過B點(diǎn)經(jīng)過的時(shí)間．

解答：解：：（1）球從D下滑到B與物塊碰前，小球機(jī)械能守恒，有：
mgh=

1

2

m

v

2 0

碰撞過程，小球與滑塊系統(tǒng)動(dòng)量守恒有：
mv₀=（m+M）v₁
碰后彈簧壓縮到最大程度的過程中，M、m和彈簧的系統(tǒng)機(jī)械能守恒：
E_p=

1

2

（m+M）

v

2 1

解得：E_p=

m2gh

M+m

（2）第一次碰后，小球返回B點(diǎn)的速度仍為v₁，從B向C滑動(dòng)的最大高度為h′，
根據(jù)機(jī)械能守恒有：
mgh′=

1

2

m

v

2 1

解得：h′=

m2

(M+m)2

h
（3）R＞＞h，小球在BC上的運(yùn)動(dòng)可等效為單擺，
其周期為T=2π

R g

，
分析知小球第三次通過B點(diǎn)經(jīng)過的時(shí)間為t=

3

4

T+△t=

3

2

π

R g

+△t．
答：（1）彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能是E_p=

m2gh

M+m

．
（2）小球與物塊第一次碰后沿BC上升的最大高是=

m2

(M+m)2

h．
（3）若R＞＞h，每次從小球接觸物塊至物塊撞擊L形擋板歷時(shí)均為△t，則小球由D點(diǎn)出發(fā)經(jīng)

3

2

π

R g

+△t時(shí)間第三次通過B點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律的直接應(yīng)用，知道當(dāng)R＞＞h，小球在BC上的運(yùn)動(dòng)可等效為單擺，難度適中．