Question

18．輕質(zhì)彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5.4m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為l．將該彈簧沿斜面放置，一端固定在A點，另一端與物體P接觸但不連接．圖中AB是長度為3l、傾角為37°的粗糙軌道，B端與半徑為l的光滑圓軌道BCD相切，C的切線沿豎直方向，D的切線沿水平方向，用外力推動物塊P，使彈簧被壓縮到最短，已知P與AB軌道間動摩擦因數(shù)為u=0.25，重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計空氣阻力．
（1）若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)D點時對軌道壓力；
（2）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P質(zhì)量的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)能量守恒定律求出物體到達(dá)D點的速度．在D點，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求軌道對物體的壓力，從而得到物體對軌道的壓力．
（2）P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，有兩個臨界情況：一是恰好到達(dá)B點的速度為零．二是恰好到達(dá)C點的速度為零，結(jié)合能量守恒定律求解．

解答 解：（1）根據(jù)能量守恒定律有，彈簧壓縮至最短時彈性勢能為：E_p=5.4mgl
物體被彈簧彈出到D點的過程中，有：E_p-μmgcosθ•2l-mg（2lsin37°+l+lsin53°）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D點，根據(jù)牛頓第二定律得：N+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{l}$
聯(lián)立解得：N=3mg
根據(jù)牛頓第三定律得，P到達(dá)D點時對軌道壓力為：N′=N=3mg
（2）物體P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，兩個臨界條件：
①恰好滑到B點，速度為零．則有：E_p=μMgcosθ•2l+Mg•2lsin37°
解得：M=$\frac{27}{8}$m
②恰好滑到C點，速度為零．則有：E_p=μMgcosθ•2l+Mg（2lsin37°+lsin53°）
解得：M=2.25m
所以P質(zhì)量的取值范圍為：2.25m≤M≤$\frac{27}{8}$m
答：（1）若P的質(zhì)量為m，P到達(dá)D點時對軌道壓力是3mg；
（2）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，P質(zhì)量的取值范圍為 2.25m≤M≤$\frac{27}{8}$m．

點評 解決本題時要抓住彈簧的形變量相等時彈性勢能相等這一隱含的條件，正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化．對于范圍問題，往往要分析臨界情況，抓住臨界條件研究．