Question

【題目】如圖所示，已知半徑分別為R和r的甲、乙兩個(gè)光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面內(nèi)，甲軌道左側(cè)又連接一個(gè)光滑的軌道，兩圓形軌道之間由一條水平軌道CD相連，一小球自某一高度由靜止滑下，先滑過甲軌道，通過動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的CD段，又滑過乙軌道，最后離開，若小球在兩圓形軌道的最高點(diǎn)對(duì)軌道壓力都恰好為零，試求：

（1）釋放小球的高度h；
（2）水平軌道CD的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：小球在光滑圓軌道上滑行時(shí)，機(jī)械能守恒，設(shè)小球滑過C點(diǎn)時(shí)的速度為vc，通過甲環(huán)最高點(diǎn)速度為v′，根據(jù)小球?qū)ψ罡唿c(diǎn)壓力為零，有：

…①

取軌道最低點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，由機(jī)械守恒定律有：

=mg2R+ …②

由①、②兩式消去v′，可得： …③

同理可得小球滑過D點(diǎn)時(shí)的速度為： …④

所以小球經(jīng)過C點(diǎn)的速度為 ，經(jīng)過D點(diǎn)的速度為

小球從在甲軌道左側(cè)光滑軌道滑至C點(diǎn)時(shí)機(jī)械能守恒，有： …⑤

由③、⑤兩式聯(lián)立解得：h=2.5R

因此小球釋放的高度為2.5R

（2）

解：設(shè)CD段的長(zhǎng)度為l，對(duì)小球滑過CD段過程應(yīng)用動(dòng)能定理有：

…⑥

由③、④、⑥三式聯(lián)立解得：

則有水平CD段的長(zhǎng)度為

【解析】（1）小球滾到兩圓軌道最高點(diǎn)均僅受重力，運(yùn)用向心力公式可求出在其位置的速度．因?yàn)檐壍拦饣�，則由機(jī)械能守恒定律可求出軌道最低點(diǎn)速度，從而可求出釋放小球時(shí)的高度h．（2）由于CD段粗糙，不能運(yùn)用機(jī)械守恒定律，選用動(dòng)能定理，就可算出CD的長(zhǎng)度．