Question

【題目】如圖所示，“×”型光滑金屬導(dǎo)軌abcd固定在絕緣水平面上，ab和cd足夠長(zhǎng)，∠aOc=60°。虛線MN與∠bOd的平分線垂直，O點(diǎn)到MN的距離為L。MN左側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一輕彈簧右端固定，其軸線與∠bOd的平分線重合，自然伸長(zhǎng)時(shí)左端恰在O點(diǎn)。一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ef平行于MN置于導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好。某時(shí)刻使導(dǎo)體棒從MN的右側(cè)處由靜止開(kāi)始釋放，導(dǎo)體在被壓縮彈簧的作用下向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)彈簧與導(dǎo)體棒分離。導(dǎo)體棒由MN運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過(guò)程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)。導(dǎo)體棒始終與MN平行。已知導(dǎo)體棒與彈簧彼此絕緣，導(dǎo)軌單位長(zhǎng)度的電阻為r（導(dǎo)體棒電阻不計(jì)）。彈簧被壓縮后所獲得的彈性勢(shì)能可用公式計(jì)算，k為彈簧的勁度系數(shù)（且為未知量），x為彈簧的形變量。

（1）導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求感應(yīng)電流的大小和速度v0的大小；

（2）求導(dǎo)體棒最終靜止時(shí)的位置距O點(diǎn)的距離。

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)閉合電路的歐姆定律求解回路中的感應(yīng)電流強(qiáng)度；導(dǎo)體棒和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程；再以導(dǎo)體棒為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律列方程，聯(lián)立求解；（2）導(dǎo)體棒過(guò)O點(diǎn)后與彈簧脫離，根據(jù)動(dòng)量定理和微元法求解導(dǎo)體棒最終靜止的位置距O點(diǎn)的距離．

（1）釋放導(dǎo)體棒后，在未進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，導(dǎo)體棒和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有：

勻速進(jìn)入磁場(chǎng)后，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得：，此時(shí)回路的電阻為：，則感應(yīng)電流

設(shè)桿到O點(diǎn)的距離為x，根據(jù)平衡條件得：

聯(lián)立解得：，

（2）從O向左到靜止的距離為，由動(dòng)量定理得：

由微元法得：

又

聯(lián)立得：