Question

4．宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個(gè)小球．經(jīng)過時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)．若拋出時(shí)的初速增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為$\sqrt{3}$L．已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數(shù)為G．求：
（1）該星球表面的重力加速度g
（2）該星球的質(zhì)量M．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律表示出拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離求解星球表面重力加速度．
（2）忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式求解天體質(zhì)量．

解答 解：（1）設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h，第一次平拋的水平射程為x，則有x²+h²=L²…①
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得知，當(dāng)初速增大到2倍，其水平射程也增大到2x，可得${（2x）^2}+{h^2}={（\sqrt{3}L）^2}$…②
由①、②解得：$h=\frac{L}{{\sqrt{3}}}$
設(shè)該星球上的重力加速度為g，根據(jù)豎直方向上的自由落體規(guī)律可知：
$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
解得：$g=\frac{{2\sqrt{3}L}}{{3{t^2}}}$；
（2）由萬有引力定律提供重力可得：$\frac{GMm}{R^2}=mg$
解得：$M=\frac{{2\sqrt{3}L{R^2}}}{{3G{t^2}}}$
答：（1）該星球表面的重力加速度g為$\frac{2\sqrt{3}L}{3{t}^{2}}$；
（2）該星球的質(zhì)量M為$\frac{2\sqrt{3}L{R}^{2}}{3G{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量，同時(shí)注意明確萬有引力與重力之間的關(guān)系．