Question

20．如圖甲所示，在該磁場(chǎng)外部，有匝數(shù)為n、電阻為r、橫截面積為S的螺線管和阻值為2r的電阻組成串聯(lián)電路，螺線管內(nèi)沿軸線方向存在按如圖乙所示變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)在t₀時(shí)間內(nèi)從零開始增大到B₀．（t_o足夠長(zhǎng)），如圖丙所示，兩個(gè)共軸的正方形金屬筒，外極板每邊的中點(diǎn)各有一小孔，分別為a、b、c、d，正方形外筒的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，內(nèi)筒、外筒間距離為d₀．在極板外面存在足夠大且垂直截面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．兩個(gè)共軸的正方形金屬板與與螺線管用導(dǎo)線相連．在t=0時(shí)刻，從緊靠?jī)?nèi)筒且正對(duì)狹縫a的S點(diǎn)從靜止釋放一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，該粒子經(jīng)過一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S，（不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中．）
（1）求兩金屬板電極間電壓的大小？
（2）求粒子經(jīng)過a點(diǎn)時(shí)速度的大小？
（3）求圖（丙）中垂直于截面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)大小？
（4）求粒子從S出發(fā)到再次回到S點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所用的總時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出螺線管產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出電流，再得到兩金屬板電極間電壓．
（2）粒子在兩個(gè)正方形間加速，由動(dòng)能定理求粒子經(jīng)過a點(diǎn)時(shí)速度的大小．
（3）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，求出軌跡半徑，由洛倫茲力提供向心力，列式求解勻強(qiáng)磁場(chǎng)大�。�
（4）先由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律結(jié)合求電場(chǎng)中加速所用時(shí)間，再根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中軌跡求磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而求得總時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得螺線管產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
E=nS$\frac{△B}{△t}$=nS$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$
感應(yīng)電流為：$I=\frac{E}{r+2r}$
兩金屬板電極間電壓為：$U=I×2r=\frac{{2nS{B_0}}}{{3{t_0}}}$
（2）由動(dòng)能定理得：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
得速度為：$v=\sqrt{\frac{{4qnS{B_0}}}{{3m{t_0}}}}$
（3）$由圓周規(guī)律qV{B_1}=m\frac{v^2}{R}$，又 $R=\frac{L}{2}$
得：${B_1}=\frac{4m}{qL}\sqrt{\frac{{qnS{B_0}}}{{3m{t_0}}}}$
（4）設(shè)電場(chǎng)中加速一次用時(shí)為 t₁，由牛頓第二定律有：$a=\frac{qU}{md}$      
由v=at₁得：${t_1}=d\sqrt{\frac{{3m{t_0}}}{{qnS{B_0}}}}$
設(shè)磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)一次用時(shí)為t₂，則有：${t_2}=\frac{3}{4}T=\frac{3πL}{8}\sqrt{\frac{{3m{t_0}}}{{qnS{B_0}}}}$
故總時(shí)間為：${t_總}=8{t_1}+4{t_2}=（8d+\frac{3πL}{2}）\sqrt{\frac{{3m{t_0}}}{{qnS{B_0}}}}$
答：（1）兩金屬板電極間電壓的大小為$\frac{2nS{B}_{0}}{3{t}_{0}}$．
（2）粒子經(jīng)過a點(diǎn)時(shí)速度的大小為$\sqrt{\frac{4qnS{B}_{0}}{3m{t}_{0}}}$．
（3）圖（丙）中垂直于截面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)大小為$\frac{4m}{qL}$$\sqrt{\frac{qnS{B}_{0}}{3m{t}_{0}}}$．
（4）粒子從S出發(fā)到再次回到S點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所用的總時(shí)間為（8d+$\frac{3πL}{2}$）$\sqrt{\frac{3m{t}_{0}}{qnS{B}_{0}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)、電場(chǎng)加速和磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡、把握每個(gè)過程的規(guī)律和相互間的聯(lián)系是解題的關(guān)系．