Question

11．水平放置的平行金屬板相距為d，板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，極板按如圖所示的方式接入電路．已知電源內(nèi)阻為r，滑動(dòng)變阻器的總阻值為R，滑片P的位置位于變阻器的中點(diǎn)．有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子，從兩板中間左端沿中心線水平射入場(chǎng)區(qū)．不計(jì)粒子重力．
（1）若不給金屬板充電，求粒子初速度v₀為多大時(shí)，可以垂直打在金屬飯上？
（2）閉合開關(guān)S，讓粒子仍以相同初速度v₀射入，而從兩板間沿直線穿過，求電源電動(dòng)勢(shì)E是多大？
（3）若將磁場(chǎng)撤去，其他條件不變，讓粒子仍以相同初速度v₀射入，要使粒子打在極板上，則極板至少多長(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）S斷開時(shí)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子垂直打在金屬板上時(shí)，軌跡半徑為$\frac{1}{2}$d，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合洛倫茲力公式即可求解；
（2）S閉合時(shí)，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力等于電場(chǎng)力，再由U=Ed、電阻與電壓的關(guān)系，即可求解．
（3）撤去磁場(chǎng)，兩極板間只有電場(chǎng)，粒子在極板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)可以求出極板的最小長(zhǎng)度．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子垂直打在金屬板上時(shí)，
由幾何關(guān)系可知，粒子的運(yùn)動(dòng)半徑：r=$\frac{1}{2}$d，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律有：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：v₀=$\frac{qBd}{2m}$；
（2）閉合后回路中的總電流為：I=$\frac{E}{R+r}$，
兩板間的電壓為：U=I$\frac{R}{2}$=$\frac{ER}{2（R+r）}$，
因?yàn)榱Ｗ幼鰟蛩僦本�運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力等于電場(chǎng)力，
則有：qv₀B=q$\frac{U}xhnrqv0$，解得，電源電動(dòng)勢(shì)：E=$\frac{q（R+r）{B}^{2}dx4juez^{2}}{mR}$；
（3）撤去磁場(chǎng)，粒子在兩極板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，
粒子恰好打在極板上時(shí)，
水平方向：L=v₀t，
豎直方向：$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qU}{md}$t²，
解得：L=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
答：（1）若不給金屬板充電，粒子初速度v₀為$\frac{qBd}{2m}$時(shí)，可以垂直打在金屬飯上；
（2）閉合開關(guān)S，讓粒子仍以相同初速度v₀射入，而從兩板間沿直線穿過，電源電動(dòng)勢(shì)E是$\frac{q（R+r）{B}^{2}gx8u6mv^{2}}{mR}$；
（3）若將磁場(chǎng)撤去，其他條件不變，讓粒子仍以相同初速度v₀射入，要使粒子打在極板上，極板至少長(zhǎng)$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 此題關(guān)鍵要掌握磁場(chǎng)中粒子由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電路中正確運(yùn)用閉合電路歐姆定律．在勻強(qiáng)電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)問題，求速度可以運(yùn)用動(dòng)能定理，也可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成和分解法求解．