Question

（2013?河南模擬）如圖所示，A是地球的同步衛(wèi)星．另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h．已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω₀，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心．關(guān)于AB兩衛(wèi)星的下列敘述正確的是（　　）

• A．同步衛(wèi)星A的高度是B的2倍必等于2h
• B．B的周期應(yīng)為T_B=2π

  (R+h)3 gR2

• C．A、B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），他們再一次相距最近，則至少經(jīng)過時間t=

  2π

  gR2 (R+h)3 -ω0

• D．A、B兩衛(wèi)星的線速度之比：

  3	gω0R2

  ：

  gR2 R+h

Answer 1

分析：A、由萬有引力提供向心力的角速度表達式，以及黃金代換，聯(lián)立可以表示同步衛(wèi)星的軌道半徑，與B的比較無法得到具體倍數(shù)關(guān)系．
B、由萬有引力提供向心力的周期表達式可得B的周期．
C、AB再次相遇的話，B比A多轉(zhuǎn)一周，由此可確定再次相遇需要經(jīng)過的時間．
D、由萬有引力提供向心力可以表示同步衛(wèi)星的軌道半徑，進而可確定A的線速度，由B的角速度或周期可得B的線速度，進而確定AB的線速度比值．

解答：解：
A、對同步衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力：
G

Mm

r2

=mrω02
再由黃金代換：
gR²=GM
解得：
r=

3	gR2 ω02

可知其離地高度為：
h′=r=

3	gR2 ω02

-R
無法比較與B的高度關(guān)系．
故A錯誤
B、對B由萬有引力定律和向心力公式得：
 G

Mm

(R+h)2

=m(R+h)

4π2

TB2

①
對地面物體由萬有引力等于重力可得：
G

Mm

R2

=mg             ②
聯(lián)立①②得：
TB=2π

(R+h)3 gR2

故B正確．
C、AB再次相遇的話，B比A多轉(zhuǎn)一周：

t

2π ω 0

-

t

2π ω

=1
又：
 ωB=

2π

TB

=

gR2 (R+h)3

代入上式得：
t=

2π

gR2 (R+h)3 -ω0

故C正確．
D、由萬有引力提供向心力：
G

Mm

r2

=mrω02
再由黃金代換：
gR²=GM
解得：
r=

3	gR2 ω02

故A的線速度為：
vA=rω0=

3	gω0R2

B的線速度為：
vB=(R+h)ωB=

gR2 R+h

故AB線速度比為：

3	gω0R2

：

gR2 R+h

故D正確．
故選：BCD

點評：本題要求熟練應(yīng)用萬有引力提供向心力的各種表達形式，熟練掌握圓周運動的各個公式，題目難度較大．