Question

如圖所示，兩根相距為d=0.2m的足夠長的平行金屬導軌位于水平的xy平面內，一端接有阻值為R=10Ω的電阻，在x＞0的一側存在豎直向下且沿y方向均勻的磁場，磁感應強度B隨x的增大而增大，且B=kx，式中常量k=l00T/m，一質量為m=lkg的金屬直桿與金屬導軌垂直，可在導軌上滑動，當t=0時位于x=0處，速度為v₀=0.2m/s，方向沿x軸的正方向，在運動過程中，有一大小可調節(jié)的外力F作用于金屬桿以保持金屬桿的加速度大小恒為a=0.1m/s²，方向沿x軸的負方向，設除外接的電阻R外，所有其它電阻都可以忽略，求：
（1）電路中感應電流持續(xù)的時間；
（2）當金屬桿的速度大小為v=0.1m/s時，回路中的感應電動勢；
（3）1s時刻施加于金屬桿的外力F．

Answer 1

分析：（1）回路中有感應電流的時間是向右做勻減速直線運動到零然后返回做勻加速直線運動到離開磁場的時間，結合運動學公式求出感應電流持續(xù)的時間．
（2）根據勻變速直線運動的速度位移公式求出速度減為v=0.1m/s經過的位移，從而得出此時的磁感應強度大小，結合切割產生的感應電動勢公式求出回路中的感應電動勢大小．
（3）根據牛頓第二定律和運動學公式列式求解1s時刻施加于金屬桿的外力F．

解答：解：金屬桿在導軌上先做加速度為a的勻變速直線運動（類豎直上拋運動），運動到最遠處速度為零，當過了原點O后，由于離開了磁場區(qū)，故回路中不再有感應電流．因而該回路中感應電流的持續(xù)時間等于做在磁場區(qū)內做勻變速直線運動的時間．
（1）設t₁為在磁場區(qū)內向右做勻減速直線運動的時間，則
  v₀-at₁=0…①
感應電流的持續(xù)時間
  T=2t₁=

2v0

a

…②
  T=4s
（2）設x₁為金屬桿的速度大小為v₁=0.1m/s時它所在的坐標
  v

2 1

-v

2 0

=2ax₁…③
 則得：x₁=0.15m… ④
此時回路中的感應電動勢
 ?=Bdv=kx₁dv₁…⑤
代人數據解得：?=0.3V…⑥
（3）由牛頓第二定律得：
 F+BdI=ma…⑦
 I=

Bdv

R

…⑧
又 x=v₀t-

1

2

at²… ⑨
 v=v₀-at…⑩
得：F=ma-

[k(v0t- 1 2 at2)d]2(v0-at)

R

=0.01N
答：（1）電路中感應電流持續(xù)的時間為4s；
（2）當金屬桿的速度大小為v=0.1m/s時，回路中的感應電動勢為0.3V；
（3）1s時刻施加于金屬桿的外力F為0.01N．

點評：解決本題的關鍵知道回路中有感應電流的過程，結合切割產生的感應電動勢公式、運動學公式、牛頓第二定律進行求解．