Question

15．如圖，光滑的平行金屬導(dǎo)軌ac、bd之間用阻值均為R的電阻絲ab和cd相連，導(dǎo)軌平面與水平方向成θ=30°角，abdc平面內(nèi)有垂直平面的磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)讓一質(zhì)量m，電阻為$\frac{R}{2}$的金屬棒從頂端由靜止釋放，（金屬棒與導(dǎo)軌垂直）．并已知金屬捧在到達(dá)底端以前已經(jīng)作勻速運(yùn)動(dòng)，金屬棒的長(zhǎng)度和導(dǎo)軌之間間距相同，均為L(zhǎng)，導(dǎo)軌長(zhǎng)度為2L，金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)中，求：

（1）通過(guò)金屬棒的電量．
（2）金屬棒上產(chǎn)生的焦耳熱及電路最大的熱功率．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出電流，由q=It求出電荷量；
（2）根據(jù)功能關(guān)系即可求出產(chǎn)生的焦耳熱，電路中的最大熱功率等于減小的機(jī)械能的功率，由此即可求出．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒在向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相當(dāng)于電源，與電阻ab、cd組成的等效電路如圖：

則電路的外電阻：${R}_{外}=\frac{R}{2}$
設(shè)金屬棒從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到到達(dá)cd的時(shí)間為t，則平均電動(dòng)勢(shì)：$\overline{E}=\frac{△Φ}{t}=\frac{BL•2L}{t}$
通過(guò)金屬棒的電量：q=$\overline{I}t=\frac{\overline{E}}{{R}_{總}(cāng)}•t$
其中：${R}_{總}(cāng)=\frac{R}{2}+{R}_{外}=\frac{R}{2}+\frac{R}{2}=R$
聯(lián)立得：q=$\frac{2B{L}^{2}}{R}$
（2）設(shè)金屬棒的最大速度為v，則最大電動(dòng)勢(shì)：E=BLv
電路中的電流：I=$\frac{E}{{R}_{總}(cāng)}=\frac{BLv}{R}$
此時(shí)金屬棒受到的安培力與重力沿斜面向下的分量大小相等方向相反，則：BIL=mgsinθ
聯(lián)立得：v=$\frac{mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
金屬棒到達(dá)cd時(shí)，由功能關(guān)系得：
${Q}_{熱}=mg•2Lsin30°-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立得：Q_熱=$mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$
由于金屬棒的電阻值與外電路的電阻值相等，所以金屬棒上此時(shí)的焦耳熱與外電路上產(chǎn)生的焦耳熱相等，則：Q=$\frac{{Q}_{總}(cāng)}{2}$=$\frac{1}{2}mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{L}^{4}}$
當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定后，電路中消耗的熱功率等于金屬棒減小的機(jī)械能的功率，則：P_m=mgsinθ•v
聯(lián)立得：${P}_{m}=\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）通過(guò)金屬棒的電量是$\frac{2B{L}^{2}}{R}$．
（2）金屬棒上產(chǎn)生的焦耳熱是$\frac{1}{2}mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{L}^{4}}$，電路最大的熱功率是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 應(yīng)明確：①遇到電磁感應(yīng)問(wèn)題，首先找出電源，畫(huà)出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向，寫(xiě)出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小，然后再求解；②遇到傾斜導(dǎo)軌問(wèn)題，應(yīng)畫(huà)出側(cè)視圖，再進(jìn)行受力分析，從而列出平衡方程或牛頓第二定律表達(dá)式；③涉及到電熱問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)能量守恒定律求解．