Question

16．如圖甲所示：MN、PQ是相距d=1m的足夠長(zhǎng)平行光滑金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌平面與水平面成某一夾角，導(dǎo)軌電阻不計(jì)；長(zhǎng)也為1m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，ab的質(zhì)量m=0.1kg、電阻R=1Ω；MN、PQ的上端連接右側(cè)電路，電路中R₂為一電阻箱；已知燈泡電阻R_L=3Ω，定值電阻R₁=7Ω，調(diào)節(jié)電阻箱使R₂=6Ω，重力加速度g=10m/s²．現(xiàn)斷開開關(guān)S，在t=0時(shí)刻由靜止釋放ab，在t=0.5s時(shí)刻閉合S，同時(shí)加上分布于整個(gè)導(dǎo)軌所在區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面斜向上；圖乙所示為ab的速度隨時(shí)間變化圖象．
（1）求斜面傾角θ；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）ab由靜止下滑x=50m（此前已達(dá)到最大速度）的過程中，求整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱．

Answer 1

分析 （1）先研究乙圖可知，在0-0.5s內(nèi)ab做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由圖象的斜率可求得加速度，由牛頓第二定律求出斜面的傾角．
（2）t=0.5s時(shí)，S閉合且加上了磁場(chǎng)，ab將先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到最大（v_m=6m/s）后接著做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件和安培力與速度的關(guān)系式結(jié)合，求解磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）ab下滑過程中，機(jī)械能減小轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱；

解答 解：（1）S斷開時(shí)，ab做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，從圖乙得：a=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{3}{0.5}$m/s=6m/s²，
由牛頓第二定律有：mgsinα=ma
所以：sinα=$\frac{a}{g}$=$\frac{6}{10}$=0.6
所以α=37°
（2）t=0.5s時(shí)，S閉合且加上了磁場(chǎng)，分析可知，此后ab將先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到最大（v_m=6m/s）后接著做勻速運(yùn)動(dòng)，勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由平衡條件有：mgsinα=F_安，
又F_安=BId
 I=$\frac{Bd{v}_{m}}{{R}_{總}(cāng)}$
電路的總電阻：R_總=R_ab+R₁+$\frac{{R}_{2}{R}_{L}}{{R}_{2}+{R}_{L}}$=（1+7+$\frac{3×6}{3+6}$）Ω=10Ω
聯(lián)立以上四式有：mgsinα=$\frac{{B}^{2}6gdkham^{2}{v}_{m}}{{R}_{總}(cāng)}$
代入數(shù)據(jù)解得：B=$\sqrt{\frac{mgsinα{R}_{總}(cāng)}{livi10k^{2}{v}_{m}}}$=$\sqrt{\frac{0.1×10×0.6×10}{{1}^{2}×6}}$=1T
（3）由能量轉(zhuǎn)化關(guān)系有：mgxsinα=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+Q
代入數(shù)據(jù)解得：Q=mgxsinα-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$=28.2J
答：（1）斜面傾角a為37°；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為1T；
（3）整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱為28.2J；

點(diǎn)評(píng) 本題是力電綜合題，首先要從力學(xué)的角度分析ab棒的運(yùn)動(dòng)情況，掌握電路知識(shí)、電磁感應(yīng)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)求極值的方法研究電路中極值問題，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力要求較高，要加強(qiáng)訓(xùn)練，培養(yǎng)解決綜合題的能力．