如圖所示,在x≥0的區(qū)域內(nèi)存在與xOy平面垂直的勻強磁場,磁感應(yīng)強度的大小為B,方向垂直于紙面向里。假設(shè)一束初速度為零的質(zhì)量為m、帶電荷量為q的正離子,經(jīng)過加速電場加速后從O點沿x軸正方向進(jìn)入勻強磁場區(qū)域。有一塊厚度不計、高度為d的金屬板豎直放置在磁場中,截面如圖,M、N分別為金屬板截面的上、下端點,M點的坐標(biāo)為(d,2d),N點的坐標(biāo)為(d,d)。正離子的重力不計。
(1)加速電場的電壓在什么范圍內(nèi),進(jìn)入磁場的離子才能全部打在金屬板上?
(2)求打在金屬板上的離子在磁場中運動的最短時間與最長時間的比值。(sin37°=0.6,cos37°=0.8)
【解析】 (1)設(shè)加速電壓為,正離子初速度為零,經(jīng)過加速電場加速,根據(jù)動能定理得(1分)
正離子在磁場中做勻速圓周運動,洛倫茲力提供向心力:
,得(2分)
加速電壓較小時,離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑較小,當(dāng)離子恰好打到金屬板下端點時,圓周運動的半徑有最小值,如圖甲所示。
根據(jù)幾何知識可以判斷:(1分)
解得 (2分)
加速電壓較大時,離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑較大,當(dāng)離子恰好打到金屬板上端點時,圓周運動的半徑有最大值,如圖乙所示。
根據(jù)幾何知識可以判斷:(1分)
解得 (1分)
解得(2分)
要使進(jìn)入磁場的離子能全部打在金屬板上,加速電壓的取值范圍應(yīng)為
≤≤(1 分)
(2)設(shè)離子在磁場中做勻速圓周運動的周期為,根據(jù)圓周運動規(guī)律得
(2分)
即離子在磁場中做勻速圓周運動的周期與加速電壓無關(guān)。
打在金屬板上的離子在圖甲所示的軌跡中運動時間最短:
(1分)
打在金屬板上的離子在圖乙所示的軌跡中運動時間最長:
(1分)
根據(jù)幾何知識:(1分)
則
所以(2分)
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