Question

11．游樂場的滑道運動可以讓游客體驗到刺激的感覺，游樂場的滑道可簡化為AOB滑道模型，它位于豎直平面內(nèi)，由兩個半徑都是R的$\frac{1}{4}$圓周連接而成，它們的圓心O₁、O₂與兩圓弧的連接點O在同一豎直線上．O₂B與水面位于同一平面．一個質量為m的游客可由弧AO的任意位置從靜止開始滑下，游客可看成質點．（當?shù)刂亓�加速度為g）
（1）若游客由A點靜止下滑越過O點時，對滑道壓力恰好為零，求游客從A到O過程中克服阻力做的功．
（2）若不計阻力，游客在A點由靜止下滑，求其落水點到O₂的距離．
（3）若不計阻力，游客從開始下滑到剛好脫離滑道的過程中，在兩個圓弧上滑過的弧長相等，則游客應從圓弧AO上的何處開始下滑（用該處到O₁點的連線與豎直線的夾角θ的三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析 （1）游客在O點時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出游客經(jīng)過O點的速度；由動能定理可以求出游客從A到O過程中克服阻力做的功．
（2）不計阻力，先由機械能守恒定律求出游客由A點靜止下滑到O點的速度．游客離開O點后做平拋運動，由平拋運動知識可以求出其落水點到O₂的距離．
（3）游客剛好脫離滑道時，軌道對游客的支持力為零，由重力的徑向分力提供向心力，由牛頓第二定律和向心力公式列式，結合機械能守恒定律求解．

解答 解：（1）設該游客由A點靜止下滑到O點時的速度為v₀，克服阻力做的功為W_f，根據(jù)動能定理有：mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
根據(jù)牛頓第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：W_f=0.5mgR
（2）不計阻力，設游客由A點靜止下滑到O點的速度為v₁，根據(jù)機械能守恒定律有：mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
脫離軌道后做平拋運動，設經(jīng)t時間落水，有：R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x=v₁t
聯(lián)立解得：x=2R   
（3）如圖所示，設游客出發(fā)點為P₁離開點為P₂，按題意要求O₁P₁、O₂P₂與豎直方向的夾角相等為θ，
若離開滑道時的速度為v₂，則游客在P₂處脫離滑道的條件：
   mgcosθ=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
從P₁到P₂由機械能守恒有：2mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
聯(lián)立解得：cosθ=0.8
答：
（1）游客從A到O過程中克服阻力做的功是0.5mgR．
（2）其落水點到O₂的距離是2R．
（3）cosθ的值為0.8．

點評 分析清楚游客的運動過程，把握圓周向心力的來源：指向圓心的合力，尤其是臨界條件是解決本題的關鍵．