Question

12．地面上有一個半徑為R的圓形跑道，高為h的平臺邊緣上的P點在地面上P′點的正上方，P′與跑道圓心O的距離為L（L＞R），如圖所示．跑道上停有一輛小車，現(xiàn)從P點水平拋出小沙袋，使其落入小車中（沙袋所受空氣阻力不計）．問：
（1）若小車在跑道上運動，則沙袋被拋出時的初速度在什么范圍內？
（2）若小車沿跑道順時針做勻速圓周運動，當小車恰好經(jīng)過A點時，將沙袋拋出，為使沙袋能在B處落入小車中，小車的速率v應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）小車在A點時水平的位移最小，此時的初速度也是最小的，當小車在B點時，水平的位移最大，此時的初速度是最大的，沙袋被拋出時的初速度應該在AB兩點的初速度之間；
（2）要使沙袋能在B處落入小車中，在沙袋落到B點時，小車要剛好到達B位置，小車可以是經(jīng)過$\frac{1}{4}$圓周到達B點，也可以是經(jīng)過整數(shù)個圓周之后再過$\frac{1}{4}$圓周到達B點，根據(jù)它們的時間相同可以求得小車速度的關系

解答 解：（1）沙袋從P點被拋出后做平拋運動，設它的落地時間為t，則
h=$\frac{1}{2}$gt²
解得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$①
當小車位于A點時，有
x_A=v_At=L-R②
解①②得v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
若小車在跑道上運動，要使沙袋落入小車，最小的拋出速度為
v_0min=v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
若當小車經(jīng)過C點時沙袋剛好落入，拋出時的初速度最大，有
x_c=v_0maxt=L+R ③
解①③得 v_0max=（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
所以沙袋被拋出時的初速度范圍為
（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$≤v₀≤（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）要使沙袋能在B處落入小車中，小車運動的時間應與沙袋下落時間相同
t_AB=（n+$\frac{1}{4}$）$\frac{2πR}{v}$（n=0，1，2，3…）
所以t_AB=t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
解得v=$\frac{1}{2}$（4n+1）πR$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）．
答：（1）若小車在跑道上運動，則沙袋被拋出時的初速度范圍為（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$≤v₀≤（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）若小車沿跑道順時針做勻速圓周運動，當小車恰好經(jīng)過A點時，將沙袋拋出，為使沙袋能在B處落入小車中，小車的速率v應滿足v=$\frac{1}{2}$（4n+1）πR$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）．

點評 本題是對平拋運動規(guī)律的考查，在分析第二問的時候，要考慮到小車運動的周期性，小車并一定是經(jīng)過$\frac{1}{4}$圓周，也可以是經(jīng)過了多個圓周之后再經(jīng)過$\frac{1}{4}$圓周后恰好到達B點，這是同學在解題時經(jīng)常忽略而出錯的地方．