Question

3．如圖所示，長L的絕緣光滑細(xì)桿AB與水平面成45°角，A、C兩點在同一豎直線上，B、C兩點在同一水平線上，O點為AB的中點，在C點固定一個帶正電的點電荷Q，桿上套一個帶正電的小環(huán)，環(huán)在A點時正好能保持靜止．現(xiàn)給環(huán)一個沿桿向下的初速度v_A，環(huán)到達(dá)O點的速度為v₀，已知靜電常數(shù)為k，小環(huán)的質(zhì)量m，重力加速度g，求：
（1）求小環(huán)的電荷量q；
（2）AO兩點的電勢差U_AO；
（3）環(huán)到達(dá)B點時環(huán)的速度．

Answer 1

分析 （1）小環(huán)在A點時恰能靜止，說明點電荷受到兩個力作用而處于平衡狀態(tài)，利用二力的平衡即可解得小環(huán)的電荷量
（2）分析由A到O的過程中有哪些力做功，利用動能定理列式即可得知AO兩點間的電勢差．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系，可知AB兩點在以C點為球心的同一球面上，所以AB兩點的電勢相同，繼而可知有A到B的過程中，電場力的做功情況，

解答 解：（1）環(huán)在A點時正好能保持靜止，重力和電場力平衡，有：
mg=$\frac{kQq}{（Lsin45°）^{2}}$
解得：q=$\frac{mg{L}^{2}}{2kQ}$
（2）小環(huán)從A點到O點，電場力做負(fù)功，重力做正功，由動能定理有：
qU_AO+mg×$\frac{1}{2}L$×sin45°=$\frac{1}{2}m{v}_{o}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：U_AO=-$\frac{kQ（\frac{\sqrt{2}}{2}gL+{v}_{A}^{2}-{v}_{O}^{2}）}{g{L}^{2}}$
（3）A、B兩點處于Q的等勢面上，從A到B電場力不做功，只有重力做正功，設(shè)到達(dá)B的速度為v_B，從A到B的過程由動能定理有：
mgL×sin45°=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：v_B=$\sqrt{{v}_{A}^{2}+\sqrt{2}gL}$
答：（1）求小環(huán)的電荷量q為$\frac{mg{L}^{2}}{2kQ}$；
（2）AO兩點的電勢差為-$\frac{kQ（\frac{\sqrt{2}}{2}gL+{v}_{A}^{2}-{v}_{O}^{2}）}{g{L}^{2}}$；
（3）環(huán)到達(dá)B點時環(huán)的速度為$\sqrt{{v}_{A}^{2}+\sqrt{2}gL}$．

點評 該題首先要求要掌握點電荷產(chǎn)生的電場強度的大小計算公式F=k$\frac{{q}_{1}{q}_{1}}{{r}^{2}}$，并能通過正確的受力分析利用力的平衡列式，再者就是要熟練的會用動能定理來解答相關(guān)問題，應(yīng)用動能定理時，要分清楚在運動過程中各個力的做功情況，是各力做功的代數(shù)和等于物體動能的變化．