Question

8．直角三角形0MN，∠N=30°，0M=L．在三角形區(qū)域內(nèi)（含邊界）有垂直于xOy平面向里的勻強磁場．在t=0時刻，同時從角形的0M邊各處以沿y軸正向的相同速度，將質(zhì)量均為m，電荷量均為q的大量帶正電粒子射入磁場，已知在t=t₀時刻從0N邊某處射出磁場的粒子，其射出時速度方向與射入磁場時的速度方向間的夾角為60°．不計粒子重力、空氣阻力及粒子間相互作用．
（1）求磁場的磁感應(yīng)強度B的大小；
（2）若從0M邊兩個不同位置射入磁場的粒子，從0N邊上的同一點P（圖中未標出）射出磁場，這兩個粒子經(jīng)過P點的時間間隔與P點位置有關(guān)．若該時間間隔最大值為2t₀，求兩個粒子進入磁場時的位置之間的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)題意求出粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角，然后根據(jù)粒子的運動時間與粒子做圓周運動的周期公式求出磁感應(yīng)強度．
（2）作出粒子運動軌跡，根據(jù)題意應(yīng)用幾何知識求出粒子軌道半徑，然后求出兩粒子進入磁場時位置間的距離．

解答 解：（1）射出時速度方向與射入磁場時的速度方向間的夾角為60°，則粒子在t₀時間內(nèi)，速度方向改變了60°，
粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，粒子的運動時間：t=t₀=$\frac{60°}{360°}$T=$\frac{1}{6}$T，粒子做圓周運動的周期：T=6t₀，
粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，則：B=$\frac{πm}{3q{t}_{0}}$；
（2）在同一點射出磁場的兩粒子軌跡如圖所示，軌跡所對應(yīng)的圓心角分別為θ₁和θ₂，由幾何關(guān)系有：θ₁=180°-θ₂，
由圓周運動知識可知，兩粒子在磁場中運動的時間差△t與△θ=θ₂-θ₁成正比，△θ=θ₂-θ₁=180°-2θ₁，
粒子運動的時間差：△t=$\frac{△θ}{360°}$T，則θ₁越小，△θ越大，時間差△t越大，
由題時間間隔最大值為：△t_max=2t₀，已知：T=6t₀ ，θ₁的最小值為：θ_1min=30°，θ₂的最大值：θ_2max=150°，
在磁場中運動時間最長的粒子軌跡如圖，由幾何關(guān)系有：α=180°-θ_2max=30°，
已知：∠N=30°，則∠M=60°，β=90°-∠M=30°，α=θ_1min=30°，
由幾何知識得：Rcosα+$\frac{R}{cosβ}$=L，解得：R=$\frac{2\sqrt{3}L}{7}$，
兩粒子射入磁場位置間的距離：d=（L-R-Rcosα）-（R-Rcosθ_1min）=$\frac{7-4\sqrt{3}}{7}$L；
答：（1）磁場的磁感應(yīng)強度B的大小為$\frac{πm}{3q{t}_{0}}$；
（2）兩個粒子進入磁場時的位置之間的距離為$\frac{7-4\sqrt{3}}{7}$L．

點評 對于帶電粒子在磁場中運動類型，要能作出粒子的運動軌跡，善于運用幾何知識幫助分析和求解，這是軌跡問題的解題關(guān)鍵．