Question

如圖所示，用特殊材料制成的PQ界面垂直于x軸，只能讓垂直打到PQ界面上的電子通過．PQ的左右兩側(cè)有兩個(gè)對稱的直角三角形區(qū)域，左側(cè)的區(qū)域內(nèi)分布著方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，右側(cè)區(qū)域內(nèi)分布著豎直向上勻強(qiáng)電場．現(xiàn)有速率不同的電子在紙面上從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿不同方向射向三角形區(qū)域，不考慮電子間的相互作用．已知電子的電量為e，質(zhì)量為m，在△OAC中，OA=l，θ=60°．
（1）求能通過PQ界面的電子所具有的最大速度及其從O點(diǎn)入射時(shí)與y軸的夾角；
（2）若以最大速度通過PQ界面的電子剛好被位于x軸上的F處的接收器所接收，求電場強(qiáng)度E；
（3）在滿足第（2）問的情況下，求所有能通過PQ界面的電子最終穿過x軸的區(qū)間寬度．

Answer 1

分析：（1）由題意，要使電子能通過PQ界面，電子飛出磁場的速度方向必須水平向右，電子運(yùn)動的半徑最大，對應(yīng)的速度最大，由幾何知識求出最大半徑，即可求得電子的最大速度，并由數(shù)學(xué)知識求出電子從O點(diǎn)入射時(shí)與y軸的夾角．
（2）以最大速度通過PQ界面的電子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，剛好被位于x軸上的F處的接收器所接收，水平位移為

3

l，豎直位移為l，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求解E．
（3）電子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，出電場后做勻速直線運(yùn)動穿過x軸，設(shè)類平拋運(yùn)動的水平分位移為x₁，豎直分位移為y₁，出電場時(shí)速度的方向與水平方向的夾角為β，出電場后做勻速直線運(yùn)動的水平分位移為x₂，其軌跡與x軸的交點(diǎn)與PQ界面的距離為s．根據(jù)類平拋運(yùn)動的規(guī)律和數(shù)學(xué)知識求解．

解答：解：（1）要使電子能通過PQ界面，電子飛出磁場的速度方向必須水平向右．
由Bev=m

v2

r

可知，軌跡半徑 r=

mv

qB

，r越大v越大，從C點(diǎn)水平飛出的電子，運(yùn)動半徑最大，對應(yīng)的速度最大，即r=2l時(shí)，電子的速度最大，故最大速度為 v_m=

2Bel

m

，其從O點(diǎn)入射時(shí)與y軸夾角為30°．
（2）以最大速度通過PQ界面的電子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，剛好被位于x軸上的F處的接收器所接收，則在電場中，有：
   

3

l=v_mt，
    l=

1

2

at2
又 a=

eE

m

解得E=

8B2el

3m

（3）電子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，出電場后做勻速直線運(yùn)動穿過x軸，設(shè)類平拋運(yùn)動的水平分位移為x₁，豎直分位移為y₁，出電場時(shí)速度的方向與水平方向的夾角為β，出電場后做勻速直線運(yùn)動的水平分位移為x₂，其軌跡與x軸的交點(diǎn)與PQ界面的距離為s．
tan30°=

y1

x1

，
又根據(jù)類平拋運(yùn)動的規(guī)律得：x₁=vt，y₁=

1

2

at2，a=

eE

m

可得x₁=

2mv2

3 eE

，tanβ=

at

v

=

2

3

，x₂=

1 2 r-y1

tanβ

故 s=（

3

l-

3

2

r）+x₁+x₂=

3

l-

3 mv

4eB

+

3 m2v2

8B2e2l2

，其中0≤v≤v_m
當(dāng)v=

vm

2

時(shí)，s_min=

7 3

8

l
當(dāng)v=0（或v=v_m）時(shí)，s_max=

3

l
所以所有能通過PQ界面的電子最終穿過x軸的區(qū)間寬度為s_max-s_min=

3

l-

7 3

8

l=

3

8

l
答：
（1）能通過PQ界面的電子所具有的最大速度是

2Bel

m

，其從O點(diǎn)入射時(shí)與y軸的夾角是30°；
（2）若以最大速度通過PQ界面的電子剛好被位于x軸上的F處的接收器所接收，電場強(qiáng)度E是

8B2el

3m

．
（3）所有能通過PQ界面的電子最終穿過x軸的區(qū)間寬度為

3

8

l．

點(diǎn)評：本題考查分析較為復(fù)雜的磁場、電場與力學(xué)的綜合題，關(guān)鍵能畫出電子的運(yùn)動軌跡，充分運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析和求解．