Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第Ⅰ象限存在勻強電場，第Ⅳ象限存在勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上的N點與x軸正方向成θ=60°角射入磁場，最后從y軸負半軸上的P點垂直于y軸射出磁場，如圖所示．不計粒子重力，求
（1）經(jīng)過N點的速度v；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑r；
（3）粒子從M點運動到P點的總時間t．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于電場進入第一象限，做類平拋運動，根據(jù)速度的分解求經(jīng)過N點的速度v．
（2）粒子由N到達P做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，可由牛頓第二定律求出在磁場中運動的軌道半徑r．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出ON，由類平拋運動的規(guī)律求出粒子在電場中運動時間．得到粒子在磁場中轉(zhuǎn)動的圓心角，再由圓周運動的性質(zhì)求得磁場中運動時間，從而得到總時間．

解答 解：（1）設(shè)粒子過N點時速度v，有 $\frac{v_0}{v}$=cosθ　　　　�、�
可得 v=2v₀              ②
（2）粒子在磁場中以O(shè)′為圓心做勻速圓周運動，半徑為O′N，有
qvB=$\frac{{m{v^2}}}{r}$ ③
得 r=$\frac{{2m{v_0}}}{qB}$ ④
（3）由幾何關(guān)系得
  ON=rsinθ             ⑤
粒子在電場中運動的時間t₁，有
   ON=v₀t₁             ⑥
可得 t₁=$\frac{{\sqrt{3}m}}{qB}$   ⑦
粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期
 T=$\frac{2πm}{qB}$  ⑧
設(shè)粒子在磁場中運動的時間t₂，有
 t₂=$\frac{π-θ}{2π}T$  ⑨
解得 t₂=$\frac{2πm}{3qB}$  ⑩
所以總時間為 t=t₁+t₂
解得 t=$\frac{{（3\sqrt{3}+2π）m}}{3qB}$
答：
（1）經(jīng)過N點的速度v是2v₀；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑r是$\frac{{2m{v_0}}}{qB}$；
（3）粒子從M點運動到P點的總時間t是$\frac{{（3\sqrt{3}+2π）m}}{3qB}$．

點評 粒子在電場中運動偏轉(zhuǎn)時，常運用運動的合成與分解研究．粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心、半徑及運動時間的確定也是本題的一個考查重點，要正確畫出粒子運動的軌跡圖，能熟練運用幾何知識解決物理問題．