Question

如圖是建筑工地上常用的一種“深穴打夯機(jī)”示意圖，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)兩個(gè)滾輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)將夯桿從深坑提上來(lái)，當(dāng)夯桿底端剛到達(dá)坑口時(shí)，兩個(gè)滾輪彼此分開(kāi)，夯桿在自身重力作用下，落回深坑，夯實(shí)坑底．然后兩個(gè)滾輪再次壓緊，夯桿被提上來(lái)，如此周而復(fù)始．已知兩個(gè)滾輪邊緣的線速度恒為v=4m/s，滾輪對(duì)夯桿的正壓力F_N=2×10⁴N，滾輪與夯桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.3，夯桿質(zhì)量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的過(guò)程中坑的深度變化不大，取g=10m/s²．求：
（1）在每個(gè)打夯周期中，電動(dòng)機(jī)對(duì)夯桿所做的功；
（2）每個(gè)打夯周期中滾輪與夯桿間因摩擦產(chǎn)生的熱量；
（3）打夯周期．

Answer 1

分析：（1）夯桿底端剛到達(dá)坑口的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到滾輪的線速度時(shí)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，夯桿先受到滑動(dòng)摩擦力，然后受靜摩擦力，電動(dòng)機(jī)對(duì)夯桿所做的功等于摩擦力做的功．
（2）求出在每個(gè)周期內(nèi)滾輪與夯桿間的相對(duì)位移，從而根據(jù)Q=fs_相對(duì)求出因摩擦產(chǎn)生的熱量．
（3）夯桿的運(yùn)動(dòng)過(guò)程包括：勻加速上升、勻速上升、勻減速上升再落回到坑底．求出整個(gè)過(guò)程的時(shí)間，即為打夯周期．

解答：解：（1）夯桿所受的滑動(dòng)摩擦力F₁=2μF_N
根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)₁-mg=ma
夯桿勻加速運(yùn)動(dòng)的位移s1=

v2

2a

夯桿勻速運(yùn)動(dòng)的位移s₂=h-s₁
勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，夯桿受靜摩擦力，F(xiàn)₂=mg
所以電動(dòng)機(jī)對(duì)夯桿所做的功W=F₁s₁+F₂（h-s₁）=7.2×10⁴J．
故電動(dòng)機(jī)對(duì)夯桿所做的功為7.2×10⁴J．
（2）夯桿與滾輪之間的相對(duì)位移為△s=vt-

v2

2a

   t=

v

a

解得△s=

v2

2a

所以Q=2μF_N△s=4.8×10⁴J．
故每個(gè)打夯周期中滾輪與夯桿間因摩擦產(chǎn)生的熱量為4.8×10⁴J．
（3）夯桿的運(yùn)動(dòng)過(guò)程包括：勻加速上升、勻速上升、勻減速上升再落回到坑底．
勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1=

v

a

=2s
勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2=

h-s1

v

=0.6s
勻減速上升再落回坑底過(guò)程有：規(guī)定向上為正方向，h=vt3+

1

2

at32-6.4=4t3-

1

2

×10t32
解得t₃=1.6s
所以周期T=t₁+t₂+t₃=4.2s
故打夯周期為4.2s．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清夯桿的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，知道夯桿在一個(gè)周期內(nèi)先做勻加速上升，再做勻速上升，最后勻減速上升到零，做自由落體到坑底．