Question

如圖所示，豎直平面內(nèi)有足夠長、不計(jì)電阻的兩組平行光滑金屬導(dǎo)軌，寬度均為L=0.5m，上方連接一個阻值R=1Ω的定值電阻，虛線下方的區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T的勻強(qiáng)磁場．完全相同的兩根金屬桿1和2靠在導(dǎo)軌上，金屬桿長與導(dǎo)軌等寬且與導(dǎo)軌接觸良好，電阻均為r=0.5Ω．將金屬桿1固定在磁場的上邊緣（仍在此磁場內(nèi)），金屬桿2從磁場邊界上方h=0.8m處由靜止釋放，進(jìn)入磁場后恰作勻速運(yùn)動．（g取10m/s²）求：（1）金屬桿的質(zhì)量m；
（2）若金屬桿2從磁場邊界上方h₁=0.2m處由靜止釋放，進(jìn)入磁場下落一段距離后做勻速運(yùn)動．在金屬桿2加速的過程中整個回路產(chǎn)生了1.4J的電熱．求此過程中流過電阻R的電荷量q；
（3）若金屬桿2仍然從磁場邊界上方h₁=0.2m處由靜止釋放，在金屬桿2進(jìn)入磁場的同時(shí)釋放金屬桿1，試求兩根金屬桿各自的最大速度．

Answer 1

【答案】分析：（1）金屬桿2進(jìn)入磁場前做自由落體運(yùn)動，由運(yùn)動學(xué)公式求出進(jìn)入磁場時(shí)的速度v，進(jìn)入磁場后做勻速運(yùn)動，重力與安培力平衡，E=BLv，I=、F=BIL，及平衡條件可求得m．
（2）金屬桿2進(jìn)入磁場經(jīng)過一段時(shí)間后開始勻速運(yùn)動，速度大小仍等于v．根據(jù)能量守恒求出h₂，由==，=，q=求出電量q．
（3）釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速運(yùn)動，合力等于零時(shí)速度最大．根據(jù)平衡條件得到兩桿速度之和．由于兩個金屬桿任何時(shí)刻受力情況相同，任何時(shí)刻兩者量也相的加速度也都相同，在相同時(shí)間內(nèi)速度的增同，根據(jù)速度增量相同，得到速度的關(guān)系，聯(lián)立求解兩桿的最大速度．
解答：解：（1）金屬桿2進(jìn)入磁場前做自由落體運(yùn)動，進(jìn)入磁場的速度
v_m=
金屬桿2進(jìn)入磁場后切割磁感線，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，有
感應(yīng)電動勢E=BLv_m，感應(yīng)電流 
金屬桿恰做勻速運(yùn)動，受安培力和重力平衡：mg=BIL
解出m===0.2kg                    
（2）金屬桿2自由下落h₁，進(jìn)入磁場，做加速運(yùn)動，設(shè)金屬桿2在磁場內(nèi)下降h₂后達(dá)到勻速運(yùn)動，在加速的過程中，部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能產(chǎn)生電熱，有
mg（h₁+h₂）=+Q
可得         h₂=₁=1.3m
金屬桿2進(jìn)入磁場到勻速運(yùn)動的過程中，
解出流過電阻的電量 q==C=0.65C        
（3）金屬桿2剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度v==m/s=2m/s
金屬桿2進(jìn)入磁場同時(shí)釋放金屬桿1后，回路中有感應(yīng)電流，兩桿都受安培力和重力，且受力情況相同，都向下做加速運(yùn)動，隨速度增大，感應(yīng)電流增大，安培力增大，直到安培力和重力相等時(shí)，速度達(dá)到最大．
金屬桿1和2產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E₁=BLv₁，E₂=BLv₂
感應(yīng)電流為
達(dá)到最大速度時(shí)桿的重力等于安培力
mg=BIL
整理得到：v₁+v₂=
代入數(shù)據(jù)得v₁+v₂=4 m/s…①
因?yàn)閮蓚�金屬桿任何時(shí)刻受力情況相同，因此任何時(shí)刻兩者的加速度也都相同，在相同時(shí)間內(nèi)速度的增量也必相同，即：v₁-0=v₂-v
代入數(shù)據(jù)得v₂=v₁+2…②
①②兩式聯(lián)立求出：v₁=1m/s，v₂=3m/s            
答：（1）金屬桿2的質(zhì)量m為0.2kg．
（2）流過電阻R的電量q為0.65C．
（3）兩根金屬桿各自的最大速度分別是1m/s和3m/s．
點(diǎn)評：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識的綜合，第3問關(guān)鍵是抓住兩桿的加速度相同，任何時(shí)刻速度的增量相同這一隱含的條件分析兩桿的速度關(guān)系．