Question

如圖所示，空間中自下而上依次分布著垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場區(qū)域I、Ⅱ、Ⅲ．…．n，相鄰兩個磁場的間距均為a=1.2m．一邊長L=0.2m、質(zhì)量m=0.5kg、電組R=0.01Ω的正方形導(dǎo)線框，與質(zhì)量M=2kg的物塊通過跨過兩光滑輕質(zhì)定滑輪的輕質(zhì)細(xì)線相連．線框的上邊距離磁場I的下邊界為b=1m，物塊放在傾角θ=53°的斜面上，物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，斜面足夠長．將物塊由靜止釋放，線框在每個磁場區(qū)域中均做勻速直線運(yùn)動．已知重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求
（1）線框進(jìn)人磁場I時速度v₁的大�。�
（2）磁場I的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大��；
（3）磁場n的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n與B₁的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）線框從靜止開始運(yùn)動至剛進(jìn)人磁場I時，以線框和物塊為研究對象，運(yùn)用動能定理求解速度v₁．
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，根據(jù)平衡條件求解B₁的大小．
（3）線框在相鄰兩個磁場之間加速的距離均為a-L=b，運(yùn)用動能定理列式求出線框剛進(jìn)人第n個磁場的速度，再根據(jù)安培力的表達(dá)式，得到B_n與B₁的函數(shù)關(guān)系．

解答：解：（1）線框從靜止開始運(yùn)動至剛進(jìn)人磁場I時，以線框和物塊為研究對象，由動能定理：
  W=（Mgsin53°-μMgcos53°）b-mgb=

1

2

(m+M)

v

2 1

   ①
解得：v₁=2m/s
（2）線框在磁場I中勻速運(yùn)動，由法拉第電磁感應(yīng)定律：
  E₁=B₁Lv₁  ②
由歐姆定律：I₁=

E1

R

  ③
線框受到安陪力：F₁=B₁I₁L  ④
設(shè)細(xì)線拉力為T，以線框?yàn)檠芯繉ο�，T=mg+F₁  ⑤
以物塊為研究對象，T=Mgsin53°-μMgcos53°  ⑥
聯(lián)立②③④⑤⑥解得：B₁=

10

4

T
（3）線框在相鄰兩個磁場之間加速的距離均為a-L=b，故線框由靜止開始運(yùn)動剛進(jìn)人第n個磁場時，由動能定理得：nW=

1

2

(m+M)

v

2 n

   ⑦
聯(lián)立①⑦解得：v_n=

nv1

  ⑧
又由②③④解得：F₁=

B 2 1 L2v1

R

   ⑨
線框在第n個磁場受到的安陪力F_n=

B 2 n L2vn

R

   ⑩
線框在每個磁場區(qū)域中均做勻速直線運(yùn)動，受到的安陪力均相等，F(xiàn)_n=F₁  （11）
聯(lián)立⑧⑨⑩（11）解得：B_n=

B1

4 n

答：
（1）線框進(jìn)人磁場I時速度v₁的大小為2m/s；
（2）磁場I的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小為

10

4

T；
（3）磁場n的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n與B₁的函數(shù)關(guān)系為

B1

4 n

．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是把握線框由靜止開始運(yùn)動剛進(jìn)人第n個磁場時總功的規(guī)律．考查了動能定理、閉合電路歐姆定律、共點(diǎn)力平衡、電磁感應(yīng)等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的能力要求較高，要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．