Question

（2011?浙江模擬）有一等腰直角三角形區(qū)域，直角邊長為2a．在該區(qū)域，有一垂直紙面向內(nèi)磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場．一束質(zhì)量為m、電荷量為q，速度范圍在[0，

5aqB

m

]之間的帶負電粒子從中點O垂直直角邊射入該磁場區(qū)域，在另一直角邊放置一塊足夠大的熒光屏，如圖所示．重力不計，求
（1）速度至少為多大的帶電粒子，能夠在熒光屏上留下光斑．
（2）粒子在磁場中運動的時間和速度的關(guān)系．
（3）磁場區(qū)域內(nèi)，熒光屏上亮點的位置和速度的關(guān)系．
（4）熒光屏上光斑的分布區(qū)域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)帶電粒子在磁場中運動規(guī)律求出半徑，在熒光屏x=0處，對應(yīng)的半徑為

a

2

，此時求出的速度為最小速度；
（2）根據(jù)半徑分為三種情況進行討論，利用圓心角與周期的關(guān)系求解；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系表示出位置與半徑的關(guān)系，帶入半徑與速度的關(guān)系即可求解；
（4）在磁場區(qū)域內(nèi)，根據(jù)幾何關(guān)系求出相切位置對應(yīng)的半徑、最遠坐標、速度，再求出最大速度對應(yīng)的半徑，求出圓心坐標，求出圓的方程與直線方程，求出交點坐標，進而求出過交點的切線方程，當y=0時．求出，最遠處的光斑坐標，從而求出熒光屏上光斑的分布區(qū)域．

解答：解：（1）根據(jù)帶電粒子在磁場中運動規(guī)律，可得
Bqv=m

v2

R

求出
R=

mv

Bq

在熒光屏x=0處，對應(yīng)的半徑為

a

2

，粒子速度為
v1=

qBa

2m

故小于v₁ 的帶電粒子不能在熒光屏上留下痕跡．
（2）當半徑滿足0＜R≤

a

2

時，粒子運動時間為

πm

Bq

當半徑滿足

a

2

＜R≤a時，由圖可得
cosα=

a-R

R

，

t

T

=

π-arccos( a R -1)

2π

求出：
t=

m

qB

(π-arccos(

aqB

mv

-1))                        
當半徑大于a時，由圖可知
cosα=

R-a

R

求出：

t

T

=

α

2π

，
所以t=

m

qB

arccos(1-

aqB

mv

)
（3）如圖，根據(jù)幾何關(guān)系可知
x=

R2-(a-R)2

=

a(2R-a)

v=

qB

2ma

x2+

qBa

2m

這是一條拋物線
（4）在磁場區(qū)域內(nèi)，為了求出熒光屏最遠處亮點坐標．如圖可得

2

R=R+a
求出相切位置對應(yīng)的半徑R=(

2

+1)a
對應(yīng)的最遠坐標為：
xm=

R2-( 2 a)2

=

2 2 +1

a
對應(yīng)的速度
v2=

qBa( 2 +1)

m

在磁場區(qū)域外，最遠處的坐標可以參考圖示求出．
先求出最大速度對應(yīng)的半徑
R3=

mvm

qB

=5a
圓心坐標為（0，-4a）
圓方程為x²+（y+4a）²=（5a）² 
直線方程為 x+y=2a
解出圓與直線的交點：
（3a-

14

2

a，-a+

14

2

a）
過交點的切線方程為
y-（-a+

14

2

a）=

14 -6

14 +6

[x-(3a-

14

2

a)]
當y=0時．求出，最遠處的光斑坐標為
x0=

50+ 14

11

a
所以，光斑分布區(qū)域為
[0，

2 2 +1

a]∪（2a，

50+ 14

11

a]．
答：（1）速度至少為

qBa

2m

的帶電粒子，能夠在熒光屏上留下光斑．
（2）粒子在磁場中運動的時間和速度的關(guān)系為當半徑滿足0＜R≤

a

2

時，粒子運動時間為

πm

Bq

，當半徑滿足

a

2

＜R≤a時t=

m

qB

(π-arccos(

aqB

mv

-1))，當半徑大于a時，t=

m

qB

arccos(1-

aqB

mv

)．
（3）磁場區(qū)域內(nèi)，熒光屏上亮點的位置和速度的關(guān)系為v=

qB

2ma

x2+

qBa

2m

．
（4）熒光屏上光斑的分布區(qū)域為[0，

2 2 +1

a]∪（2a，

50+ 14

11

a]．

點評：本題主要考查了帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的問題，要求同學(xué)們能畫出粒子運動的軌跡，知道如何求小球在磁場中運動的時間，能熟練運用幾何關(guān)系解題，難度較大，屬于難題．