(25分)普通光纖是一種可傳輸光的圓柱形細(xì)絲,由具有圓形截面的纖芯和包層組成,的折射率小于的折射率,光纖的端面和圓柱體的軸垂直,由一端面射入的光在很長的光纖中傳播時(shí),在纖芯和包層的分界面上發(fā)生多次全反射.現(xiàn)在利用普通光纖測量流體的折射率.實(shí)驗(yàn)方法如下:讓光纖的一端(出射端)浸在流體中.令與光纖軸平行的單色平行光束經(jīng)凸透鏡折射后會(huì)聚光纖入射端面的中心,經(jīng)端面折射進(jìn)入光纖,在光纖中傳播.由點(diǎn)出發(fā)的光束為圓錐形,已知其邊緣光線和軸的夾角為,如圖1所示.最后光從另一端面出射進(jìn)入流體.在距出射端面處放置一垂直于光纖軸的毛玻璃屏,在上出現(xiàn)一圓形光斑,測出其直徑為,然后移動(dòng)光屏至距光纖出射端面處,再測出圓形光斑的直徑,如圖2所示.

1.若已知的折射率分別為,求被測流體的折射率的表達(dá)式.

2.若、均為未知量,如何通過進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)以測出的值?

解析

1.由于光纖內(nèi)所有光線都從軸上的點(diǎn)出發(fā),在光纖中傳播的光線都與軸相交,位于通過軸的縱剖面內(nèi),圖1為縱剖面內(nèi)的光路圖,設(shè)由點(diǎn)發(fā)出的與軸的夾角為的光線,射至、分界面的入射角為,反射角也為.該光線在光纖中多次反射時(shí)的入射角均為,射至出射端面時(shí)的入射角為.若該光線折射后的折射角為,則由幾何關(guān)系和折射定律可得

                                         (1)

                                   (2)

當(dāng)大于全反射臨界角時(shí)將發(fā)生全反射,沒有光能損失,相應(yīng)的光線將以不變的光強(qiáng)射向出射端面,而的光線則因在發(fā)生反射時(shí)有部分光線通過折射進(jìn)入,反射光強(qiáng)隨著反射次數(shù)的增大而越來越弱,以致在未到達(dá)出射端面之前就已經(jīng)衰減為零了.因而能射向出射端面的光線的的數(shù)值一定大于或等于,的值由下式?jīng)Q定

                                        (3)

對應(yīng)的值為

                                        (4)

當(dāng)時(shí),即時(shí),或時(shí),由發(fā)出的光束中,只有的光線才滿足的條件,才能射向端面,此時(shí)出射端面處的最大值為

                                  (5)

,即時(shí),則由發(fā)出的光線都能滿足的條件,因而都能射向端面,此時(shí)出射端面處的最大值為

                                           (6)

端面處入射角最大時(shí),折射角也達(dá)最大值,設(shè)為,由(2)式可知

                               (7)

由(6)、(7)式可得,當(dāng)時(shí)

                                        (8)

由(3)至(7)式可得,當(dāng)時(shí)

                             (9)

的數(shù)值可由圖2上的幾何關(guān)系求得

                   (10)

于是的表達(dá)式應(yīng)為

    ()       (11)

  ()       (12)

2. 可將輸出端介質(zhì)改為空氣,光源保持不變,按同樣手續(xù)再做一次測量,可測得、、,這里打撇的量與前面未打撇的量意義相同.已知空氣的折射率等于1,故有

當(dāng)時(shí)                  (13)

當(dāng)時(shí)                 (14)

將(11)、(12)兩式分別與(13)、(14)相除,均得

           (15)

這結(jié)果適用于為任何值的情況。

評分標(biāo)準(zhǔn):本題25分

1. 18分。(8)式、(9)式各6分,求得(11)式、(12)式再各給3分

2. 7分。(13)式、(14)式各2分,求得(15)式再給3分。如果利用已知其折射率的液體代替空氣,結(jié)果正確,照樣給分。

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