Question

1．如圖所示，ABC為固定在豎直平面內(nèi)的軌道，AB為光滑的$\frac{1}{4}$圓弧，與粗糙水平面BC相切，將質(zhì)量m=0.5kg的 滑塊從A點靜止釋放，滑塊與水平面間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.1，滑塊從B點滑行L=14m后到達C點時速度為v₁=6m/s．現(xiàn)將BC間的一段MN用鐵刷劃擦，使該段的動摩擦因數(shù)變?yōu)棣?SUB>2=0.35，再使滑塊從A點靜止釋放，到達C點的速度為v₂=4m/s．g取10m/s²．求：
（1）圓弧的半徑R；
（2）MN段的長度l；
（3）若BC間用鐵刷劃擦的MN段的長度不變，要使滑塊從B到C的運動時間最長，問鐵刷劃擦的MN段位于何位置？并求滑塊滑行的最長時間．（結果保留三位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）滑塊第一次從B到C，由動能定理可求得滑塊經(jīng)過B點的速度．對滑塊由A到B，由動能定理列式，可求得圓弧的半徑R．
（2）滑塊第二次從B到C，由動能定理列式，可求得MN段的長度l．
（3）MN在最左端時滑塊從B到C的運動時間最長，由運動學速度位移關系公式研究MN段，得到此過程滑塊到N的速度．再平均速度求滑行的總時間．

解答 解：（1）滑塊第一次從B到C，由動能定理得：
-μ₁mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得滑塊經(jīng)過B點時的速度  v₀=8m/s
滑塊由A到B，由動能定理得
 mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 R=3.2m
（2）滑塊第二次從B到C，由動能定理得：
-μ₁mg（L-l）-μ₂mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 l=4m
（3）由題意分析可知，MN在最左端時滑塊從B到C的運動時間最長．設此過程滑塊到N的速度為v₃，則
在MN段，有 ${v}_{3}^{2}-{v}_{0}^{2}=2{μ}_{1}gl$
解得 v₃=6m/s
所以滑塊滑行的最長時間 t=$\frac{l}{\frac{{v}_{0}+{v}_{3}}{2}}$+$\frac{L-l}{\frac{{v}_{3}+{v}_{2}}{2}}$
解得 t=2.57s
答：
（1）圓弧的半徑R是3.2m；
（2）MN段的長度l是4m；
（3）鐵刷劃擦的MN段位于最左端時運動時間最長，滑塊滑行的最長時間是2.57s．

點評 本題涉及力在空間的效應，運用動能定理是常用的思路，要反復運用動能定理列式解答，列式時要抓住各個過程之間的聯(lián)系，如速度關系．