Question

12．進(jìn)行科學(xué)研究有時(shí)需要大膽的想象，假設(shè)宇宙中存在一離其它恒星較遠(yuǎn)的，由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)（忽略其它星體對(duì)它們的引力作用），這四顆星恰好位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若該系統(tǒng)中的星體的周期為原來(lái)的2倍，則正方形的邊長(zhǎng)和原來(lái)的邊長(zhǎng)的比值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\root{3}{2}$
• C． 2
• D． $\root{3}{4}$

Answer 1

分析 在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)合力提供向心力，求出正方形的邊長(zhǎng)和原來(lái)的邊長(zhǎng)的比值

解答 解：設(shè)原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)為${l}_{1}^{\;}$，角速度為${ω}_{1}^{\;}$，后來(lái)正方形的邊長(zhǎng)變?yōu)?{l}_{2}^{\;}$，角速度為${ω}_{2}^{\;}$，則有
$2G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{l}_{1}^{2}}cos45°+G\frac{{m}_{\;}^{2}}{（\sqrt{2}{l}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}=m{ω}_{1}^{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}{l}_{1}^{\;}）$①
$2G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{l}_{2}^{2}}cos45°+G\frac{{m}_{\;}^{2}}{（\sqrt{2}{l}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}=m{ω}_{2}^{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}{l}_{2}^{\;}）$②
周期變?yōu)樵瓉?lái)2倍，角速度為原來(lái)$\frac{1}{2}$，即$\frac{（\;\;\;\;）}{（\;\;\;\;）}\frac{{ω}_{2}^{\;}}{{ω}_{1}^{\;}}=\frac{1}{2}$③
聯(lián)立解得：$\frac{{l}_{2}^{\;}}{{l}_{1}^{\;}}=\root{3}{4}$，選項(xiàng)D正確，ABC錯(cuò)誤
故選：D

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．