Question

兩個等長的單擺，一個放在地面上，一個放在高處某地．當(dāng)?shù)谝粋�單擺振動n次的時候，第二個單擺振動n-1次．如果地球半徑為R，那么，第二個單擺離地面的高度為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)單擺的周期公式T=2π

L g

，可求得地面與高處的重力加速度之比．根據(jù)重力等于萬有引力，列式可求出第二個單擺離地面的高度．

解答：解：單擺的周期為：T=2π

L g

．
根據(jù)物體的重力等于萬有引力，則有
  G

Mm

r2

=mg，
則得，g=

GM

r2

則得，T=2π

L GM r2

=2πr

L GM

，…①
式中M是地球的質(zhì)量，L是單擺的擺長，r是物體到地心的距離．
由題，當(dāng)?shù)谝粋�單擺振動n次的時候，第二個單擺振動n-1次．則兩個單擺的周期之比為：T₁：T₂=（n-1）：n…②
由①得：

T1

T2

=

R

R+h

…③
聯(lián)立②③得得：

R

R+h

=

n-1

n

解得，h=

R

n-1

故答案為：

R

n-1

．

點(diǎn)評：本題是單擺周期公式與萬有引力的綜合應(yīng)用，它們之間聯(lián)系的紐帶是重力加速度g．根據(jù)重力等于萬有引力，得到g=

GM

r2

，常常稱為黃金代換式，要會推導(dǎo)．