Question

過山車是游樂場中常見的設(shè)施，如圖是一種過山車的簡易模型．它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的若干個(gè)光滑圓形軌道組成，A、B、C…分別是各個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，第一圓軌道的半徑R₁=2.0m，以后各個(gè)圓軌道半徑均是前一軌道半徑的k倍（k=0.8），相鄰兩最低點(diǎn)間的距離為兩點(diǎn)所在圓的半徑之和．一個(gè)質(zhì)量m=1.0kg的物塊（視為質(zhì)點(diǎn)），從第一圓軌道的左側(cè)沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速度大小為v₀=12m/s．已知水平軌道與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，水平軌道與圓弧軌道平滑連接． g取10m/s²，lg0.45=-0.347，lg0.8=-0.097．試求：
（1）物塊經(jīng)過第一軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）物塊經(jīng)過第二軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。�
（3）物塊能夠通過幾個(gè)圓軌道？

Answer 1

分析：（1）物塊在第一軌道運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物塊經(jīng)過第一軌道最高點(diǎn)的速度大�。�
（2）對(duì)A到B運(yùn)用動(dòng)能定理，求出到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度，在B點(diǎn)重力和支持力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大小，從而求出物體對(duì)軌道的壓力大�。�
（3）設(shè)物塊能夠通過n個(gè)圓軌道，對(duì)全過程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出第n個(gè)軌道的半徑，抓住小球經(jīng)過第n個(gè)圓軌道時(shí)，在最高點(diǎn)有臨界值，即vn=

gRn

，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求出n的范圍．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)第一個(gè)軌道最高點(diǎn)的速度為v，由機(jī)械能守恒有

1

2

m

v

2 0

=

1

2

mv2+2mgR1
即有v=

v 2 0 -4gR1

=

122-4×10×2

=8m/s
故物塊經(jīng)過第一軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為8m/s．
（2）設(shè)物塊經(jīng)B點(diǎn)時(shí)的速度為v_B，從A到B的過程由動(dòng)能定理，
-μmg(R1+R2)=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

對(duì)物塊經(jīng)B點(diǎn)受力分析，由向心力公式有 
   FN-mg=m

v 2 B

R2

聯(lián)立兩式解得N=mg+m

v 2 0 -2μg(R1+R2)

R2

=10+1×

122-2×0.5×10×(2+1.6)

1.6

=77.5N
由牛頓第三定律可知，物塊對(duì)軌道的壓力大小為77.5N．　　　
故物塊經(jīng)過第二軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為77.5N．　　　　　　　
（3）設(shè)物塊恰能通過第n個(gè)軌道，它通過第n個(gè)軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v_n，有m

v 2 n

Rn

≥mg
對(duì)物塊從A到第n個(gè)軌道的最高點(diǎn)的全過程由動(dòng)能定理得-μmg[(R1+R2)+(R2+R3)+…(Rn-1+Rn)]-2mgRn=

1

2

m

v

2 n

-

1

2

m

v

2 0

又因?yàn)?nbsp; R_n=k^n-1R₁=0.8^n-1R₁
由以上三式可整理得v₀²-2μg[（R₁+R₂+…+R_n-1）+（R₂+R₃+…+R_n）]≥5gR_n
即

v

2 0

-2μg[

R1(1-kn-1)

1-k

+

R2(1-kn-1)

1-k

]=

v

2 0

-2μgR1

(1+k)(1-kn-1)

1-k

≥5gkn-1R1
將v₀=12m/s，μ=0.5，R₁=2m，k=0.8，g=10m/s²代入上式，整理得0.8^n-1≥0.45，
即有(n-1)≤

lg0.45

lg0.8

≈3.6，解得  n≤4.6
故物塊共可以通過4個(gè)圓軌道．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律，運(yùn)用動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律解題注意要合理地選擇研究的過程，列表達(dá)式求解．本題第（3）問較難，對(duì)數(shù)學(xué)的要求較高．