Question

11．聯(lián)動裝置比賽是很有科學趣味的活動．某小組設計了如圖所示的裝置，MN、PQ為兩根固定在斜面上的平行長直金屬導軌，間距L=2m，斜面傾角θ=37°．導軌底端接有額定電壓U=3.0V、電阻R=10Ω的小燈泡．一根質(zhì)量M=0.4kg的直金屬棒ab垂直于兩導軌放置并被鎖定（鎖定部件未畫出），解鎖小開關在斜面上方O點，O點與兩導軌的距離相等．兩導軌之間存在方向垂直斜面向上、磁感應強度大小B=$\sqrt{2}$T的勻強磁場．導軌MN上有一個與O點相距d=$\sqrt{2}$m的帶電粒子發(fā)射源A，可以沿著與斜面平行的各個方向發(fā)射質(zhì)量m=2.0×10^-12kg、電荷量q=+4.0×10^-8C的粒子，當粒子擊中O點時會觸動小開關從而解除對金屬棒ab的鎖定．a(chǎn)b與軌道之間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，除小燈泡的電阻外其他電阻不計，忽略帶電粒子的重力．
（1）為了使金屬棒ab解鎖，求粒子發(fā)射的最小速度值v₀；
（2）為了使金屬棒ab解鎖，若粒子發(fā)射速度v₁=4.0×10⁴m/s，求粒子的發(fā)射方向；
（3）金屬棒ab解鎖后，試通過計算分析本聯(lián)動裝置能否使小燈泡正常發(fā)光．

Answer 1

分析 （1）畫出在導軌平面上的粒子軌跡過程圖，利用洛倫茲力提供向心力結合臨界幾何關系，即可求出使金屬棒ab解鎖，求粒子發(fā)射的最小速度值v₀；
（2）畫出粒子軌跡過程圖，利用洛倫茲力提供向心力求出半徑，再結合幾何關系，即可求出粒子發(fā)射速度v₁=4.0×10⁴m/s，使金屬棒ab解鎖的粒子的發(fā)射方向；
（3）利用法拉第電磁感應定律導體棒切割磁感線的公式E=BLv，結合速度最大的條件：加速度為0，求出小燈泡兩端電壓的最大值與小燈泡的額定電壓U做比較，即可判斷出本聯(lián)動裝置能否使小燈泡正常發(fā)光．

解答 解：（1）畫出在導軌平面上的粒子軌跡過程圖，如圖所示，

洛倫茲力提供向心力可得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
粒子發(fā)射的能使金屬棒ab解鎖的速度最小時，根據(jù)幾何關系有：R=$\fracxnnz9hf{2}$
解得：v₀=$\frac{qBd}{2m}$=$\frac{4.0×1{0}^{-8}×\sqrt{2}×\sqrt{2}}{2×2.0×1{0}^{-12}}$m/s=2.0×10⁴m/s
（2）設此時粒子半徑為R′，圓心為O′′，粒子的發(fā)射方向與MA成α角，
畫出在導軌平面上的粒子軌跡過程圖，如圖所示，

洛倫茲力提供向心力：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R′}$，可得：R′=2R=d=$\sqrt{2}$m
可知△AOO′′為等邊三角形，所以：∠O′′AO=60°
又因：A點粒子速度與半徑O′′A垂直，并且：∠OAM=45°
故：α=90°-∠O′′AO+∠OAM=90°-60°+45°=75°
所以粒子的發(fā)射方向為：沿斜面向下與MA之間的夾角為75°
（3）ab棒解鎖后將沿斜面向下運動，設最大速度為v_m，ab棒兩端的最大電動勢為E_m
則：E_m=BLv_m
閉合電路歐姆定律可得：I=$\frac{{E}_{m}}{R}$
安培力公式：F_安=BIL
速度最大時有：Mgsinθ=μMgcosθ+F_安
解得：v_m=$\frac{（Mgsinθ-μMgcosθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$=1m/s
E_m=BLv_m=2$\sqrt{2}$V
由于E_m＜U，故本聯(lián)動裝置不能使小燈泡正常發(fā)光
答：（1）為了使金屬棒ab解鎖，求粒子發(fā)射的最小速度值v₀為2.0×10⁴m/s；
（2）為了使金屬棒ab解鎖，若粒子發(fā)射速度v₁=4.0×10⁴m/s，粒子的發(fā)射方向為沿斜面向下與MA之間的夾角為75°；
（3）金屬棒ab解鎖后，本聯(lián)動裝置不能使小燈泡正常發(fā)光．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的運動以及導體棒切割磁場模型，解題關鍵是要讀懂題，分析好已知條件和要求解的物理量選擇合適的規(guī)律解題，粒子在磁場中的運動運用洛倫茲力提供向心力結合幾何關系，導體棒切割磁感線的過程運用法拉第電磁感應定律的公式E=BLv與運動狀態(tài)的力學條件結合，第（3）問中，知道加速度為0時，速度達到最大，感應電動勢最大，是解決此問的關鍵．