Question

2．如圖所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M=19m的金屬球并排懸掛，擺長(zhǎng)相同，均為l．現(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成θ=60°的位置自由釋放，擺至最低點(diǎn)與金屬球發(fā)生彈性碰撞．在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場(chǎng)，已知由于磁場(chǎng)的阻尼作用，金屬球總能在下一次碰撞前停在最低點(diǎn)處，重力加速度為g．求：
（1）第一次碰撞前絕緣球的速度v₀；
（2）第一次碰撞后絕緣球的速度v₁；
（3）經(jīng)過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于37°．
（你可能用到的數(shù)學(xué)知識(shí)：sin37°=0.6，cos37°=0.8，0.81²=0.656，0.81³=0.531，0.81⁴=0.430，0.81⁵=0.349，0.81⁶=0.282）

Answer 1

分析 先根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球返回最低點(diǎn)的速度，然后根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出碰撞后小球的速度，對(duì)速度表達(dá)式分析，求出碰撞n次后的速度表達(dá)式，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出碰撞n次后反彈的最大角度，結(jié)合題意討論即可．

解答 解：（1）絕緣球下擺過程機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：
 $mgl（1-cosθ）=\frac{1}{2}mv_0^2$  ①解得：${v_0}=\sqrt{2gl（1-cosθ）}=\sqrt{gl}$；
（2）兩球碰撞過程動(dòng)量守恒，以絕緣球的初速度方向?yàn)檎�方向�?br />由動(dòng)滑輪守恒定律得：mv₀=mv₁+Mv_M ②
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}Mv_M^2$   ③
聯(lián)立②③解得：${v_1}=\frac{m-M}{m+M}{v_0}=-\frac{9}{10}{v_0}=-\frac{9}{10}\sqrt{gl}$，負(fù)號(hào)表示方向與碰撞前方向相反，向右；
（3）設(shè)在第n次碰撞前絕緣球的速度為v_n-1，碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為v_n和V_n．
由于碰撞過程中動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，以碰撞前絕緣球的速度方向?yàn)檎�方向�?br />由動(dòng)量守恒定律得：mv_n-1=MV_n+mv_n  ④
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv_{n-1}^2=\frac{1}{2}MV_n^2+\frac{1}{2}mv_n^2$   ⑤
由④、⑤兩式及M=19m解得：${v_n}=-\frac{9}{10}{v_{n-1}}$，
第n次碰撞后絕緣球的動(dòng)能為：${E_n}=\frac{1}{2}mv_n^2={（0.81）^n}{E_0}$  ⑥
E₀為第1次碰撞前絕緣球的動(dòng)能，即初始能量．
得：$\frac{E_n}{E_0}={（0.81）^n}$  ⑦
而絕緣球在θ=60°與θ=37°處的勢(shì)能之比為：$\frac{{mgl（1-cos{{37}°}）}}{{mgl（1-cos{{60}°}）}}$=0.4     ⑧
根據(jù)上面數(shù)學(xué)知識(shí)，0.81⁴=0.430，0.81⁵=0.349，因此，經(jīng)過5次碰撞后θ將小于37°．
答：（1）第一次碰撞前絕緣球的速度v₀為$\sqrt{gl}$．
（2）第一次碰撞后絕緣球的速度v₁大小為$\frac{9}{10}$$\sqrt{gl}$，方向水平向右；
（3）經(jīng)過5次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于37°．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵求出第一次反彈后的速度和反彈后細(xì)線與懸掛點(diǎn)的連線與豎直方向的最大角度，然后對(duì)結(jié)果表達(dá)式進(jìn)行討論，得到第n次反彈后的速度和最大角度，再結(jié)合題意求解．