Question

3．如圖所示，一柱形玻璃的橫截面是半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧，圓心為O₁，x軸與半圓弧的直徑垂直、相切于O點．一單色光平行于x軸從P點射入玻璃，O與入射光線的距離為d，單色光在玻璃中的折射率為n=$\sqrt{2}$，光在真空中的傳播速度為c，不考慮單色光經AO面反射后的情況．求：
①若d=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$R，該單色光從P點進入玻璃開始計時，經過多長時間光線從AO面射出？
②當d→0時，求該單色光照射到x軸上的坐標．（θ很小時，sinθ≈θ，tanθ≈θ）

Answer 1

分析 ①若d=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$R，先由幾何關系求出該單色光在P點折射時的入射角，由折射定律求出折射角．再由正弦定理求出光在玻璃內傳播的距離，由v=$\frac{c}{n}$求出光在玻璃內傳播的速度，從而求得光線從P到AO面射出的時間．
②當d→0時，根據數學知識求該單色光照射到x軸上的坐標．

解答 解：①由幾何關系得入射角i的正弦為 sini=$\fracdfi0u3w{R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
得 i=45°，
由折射定律，有$n=\frac{sini}{sinγ}$，γ=30°
設光線從P傳到AO面通過的距離為l．
由正弦定理，得$\frac{R}{{sin（{i+γ}）}}=\frac{l}{sini}$，得 $l=（{\sqrt{3}-1}）R$
則所求時間 $t=\frac{l}{v}=\frac{{（{\sqrt{3}-1}）R}}{{\frac{c}{n}}}=\frac{{（{\sqrt{6}-\sqrt{2}}）R}}{c}$．
②在△PCO中，根據正弦定理得，$\frac{R}{sin[90°+（i-r）]}=\frac{OC}{sinr}$，
解得OC=$\frac{Rsinr}{sin[90°+（i-r）]}$，
在△COD中，x=$\frac{OC}{tanα}$=$\frac{OC}{sinα}$，
因為$\frac{sinα}{sin（i-r）}=n$，當d→0時，sinα=α，sin（i-r）=i-r，sin[90°+（i-r）]=1，
整理可得x=$\frac{Rsinr}{nsin[90°+（i-r）]sin（i-r）}$=$\frac{R}{\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）}$=$R（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
答：①該單色光從P點進入玻璃開始計時，經過$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）R}{c}$時間光線從AO面射出；
②該單色光照射到x軸上的坐標$x=R（{1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．

點評 本題的關鍵是作出光路圖，運用幾何知識輔助分析，結合折射定律和數學知識進行求解．