Question

擺線是數(shù)學(xué)中眾多迷人曲線之一，它是這樣定義的：一個(gè)圓沿一直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)，則圓上一固定點(diǎn)所經(jīng)過的軌跡稱為擺線．在豎直平面內(nèi)有xOy坐標(biāo)系，空間存在垂直xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的小球從坐標(biāo)原點(diǎn)由靜止釋放，小球的軌跡就是擺線．小球在O點(diǎn)速度為0時(shí)，可以分解為大小始終相等的一水平向右和一水平向左的兩個(gè)分速度，如果速度大小取適當(dāng)?shù)闹担�就可以把小球的運(yùn)動(dòng)分解成以v₀的速度向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)和從O點(diǎn)以向左速度v₁為初速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)．設(shè)重力加速度為g，下列式子正確的是（　　）

• A、速度大小所取的適當(dāng)值應(yīng)為

  mg

  qB

• B、經(jīng)過t=

  πm

  qB

  第一次到達(dá)擺線最低點(diǎn)
• C、最低點(diǎn)的y軸坐標(biāo)為y=-

  2m2g

  q2B2

• D、最低點(diǎn)的y軸坐標(biāo)為y=-

  m2g

  q2B2

Answer 1

分析：初速度為零，將其分解為向右的v₀的速度和向左的等大的速度，其中向右的v₀的速度對(duì)應(yīng)的洛倫茲力與重力平衡，做勻速直線運(yùn)動(dòng)；向左初速度與磁場(chǎng)垂直，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；實(shí)際運(yùn)動(dòng)是這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)．

解答：解：A、實(shí)際運(yùn)動(dòng)可以分解為向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)和初速度向左的勻速圓周運(yùn)動(dòng)；
對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力與重力平衡，根據(jù)平衡條件，有：mg=qv₀B，解得：v₀=

mg

qB

，故A正確；
B、勻速圓周分運(yùn)動(dòng)的周期為：T=

2πm

qB

，經(jīng)過t=

1

2

T=

πm

qB

，粒子到達(dá)最低點(diǎn)，故B正確；
C、D、勻速圓周分運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
qv₀B=m

v 2 0

R

解得：R=

mv0

qB

；
故最低點(diǎn)坐標(biāo)為：y=-2R=-

2m2g

q2B2

，故C正確，D錯(cuò)誤；
故選ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)分解為向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)和初速度向左的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這是比較罕見的，較難．