Question

如圖所示，P點(diǎn)與R點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，距離為2a．有一簇質(zhì)量為m、電量為q的離子，在xoy平面內(nèi)，從P點(diǎn)以同一速率υ，沿與x軸成θ（0⁰＜θ＜90⁰）的方向射向同一個垂直于xoy平面的有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，這些離子的運(yùn)動軌跡對稱于y軸，聚焦到R點(diǎn)．
（1）求離子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑r
（2）若離子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑為a時，求與x軸成30°角射出的離子從P點(diǎn)到達(dá)R點(diǎn)的時間t
（3）試推出在x＞0的區(qū)域中磁場的邊界點(diǎn)坐標(biāo)x與y之間滿足的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）離子進(jìn)入磁場后，受到洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)向心力公式即可求解；
（2）先根據(jù)幾何關(guān)系求出進(jìn)入和離開磁場時的坐標(biāo)，求出粒子運(yùn)動的路程，根據(jù)時間等于路程除以速率求解；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系表示出x、y與半徑r的關(guān)系，帶入數(shù)據(jù)即可得出x與y之間滿足的關(guān)系式．

解答：解：（1）離子進(jìn)入磁場后，受到洛倫茲力作用，由牛頓第二定律得：
Bqυ=m

υ2

r

解得：r=

mυ

Bq

（2）如圖所示，由對稱性及幾何關(guān)系可得，離子進(jìn)入磁場A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-

a

2

，

3

6

a）離開磁場B點(diǎn)坐標(biāo)為：（

a

2

，

3

6

a）
由幾何關(guān)系，離子運(yùn)動的路程為：s=

2 3

3

a+

π

3

r=

2 3

3

a+

π

3

a
則：t=

s

υ

=

(2 3 +π)a

3υ

（3）如圖所示，設(shè)離子運(yùn)動的軌道半徑為r，在x＞0的區(qū)域內(nèi)，令離子離開磁場后與x軸夾角為θ．
由幾何關(guān)系得：x=rsinθ
y=(

a

cosθ

-rtanθ)sinθ
代入相關(guān)數(shù)據(jù)并化簡得：y=

(ax-x2)Bq

m2υ2-B2q2x2

答：（1）求離子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑r為

mυ

Bq

；
（2）與x軸成30°角射出的離子從P點(diǎn)到達(dá)R點(diǎn)的時間t為

(2 3 +π)a

3υ

；
（3）在x＞0的區(qū)域中磁場的邊界點(diǎn)坐標(biāo)x與y之間滿足

(ax-x2)Bq

m2υ2-B2q2x2

．

點(diǎn)評：本題是帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式，難度較大．