Question

如圖所示，平面直角坐標(biāo)系的y軸豎直向上，x軸上的P點(diǎn)與Q點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，距離為2a。有一簇質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電微粒，在xoy平面內(nèi)，從P點(diǎn)以相同的速率斜向右上方的各個(gè)方向射出（即與x軸正方向的夾角θ，0°＜θ＜90°），經(jīng)過某一個(gè)垂直于xoy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域后，最終會(huì)聚到Q點(diǎn)，這些微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱。為使微粒的速率保持不變，需要在微粒的運(yùn)動(dòng)空間再施加一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)。重力加速度為g。求：

（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小和方向；

（2）若一個(gè)與x軸正方向成30°角射出的微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑也為a，求微粒從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間t；

（3）若微粒從P點(diǎn)射出時(shí)的速率為v，試推導(dǎo)微粒在x＞0的區(qū)域中飛出磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系式。

Answer 1

解：

（1）由題意知，要保證微粒的速率不變，則微粒所受電場(chǎng)力與重力平衡：

                     ……………………①

解得：，                 ……………………②

方向豎直向上。            ……………………③

（2）設(shè)A、C分別為微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的射入點(diǎn)和射出點(diǎn)，根據(jù)題意畫出微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示……………………④

根據(jù)幾何關(guān)系可得：

          ……………………⑤

      ……………………⑥

設(shè)微粒運(yùn)動(dòng)的速率為v，由牛頓定律：

                    ……………………⑦

微粒從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q運(yùn)動(dòng)的路程為s，則：

                 ……………………⑧

                               ……………………⑨

聯(lián)解⑤⑥⑦⑧⑨得：

             ……………………⑩

（3）根據(jù)題意作出粒子在x>0區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)示意如圖所示，設(shè)微粒飛出磁場(chǎng)位置為C，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，根據(jù)牛頓定律和幾何關(guān)系可得：

                    ……………………⑾

                       ……………………⑿

   ………………⒀

聯(lián)解⑾⑿⒀得：

     ……………………⒁

評(píng)分參考意見：本題滿分20分，其中①式3分，⑦⑾⒀式各2分，②③④⑤⑥⑧⑨⑩⑿⒁式各1分；若有其他合理解法且答案正確，可同樣給分。